미분기하학에서 리만 곡률 텐서 혹은 리만-크리스토펠 텐서는 리만 다양체의 곡률을 표현하는 가장 일반적 방법이다. 보통 학부 과정에서 이것을 다루기는 어려우나 할 수는 있다. 바로 이것이 일반 상대성 이론의 가장 기본적인 도구 중 하나이기 때문이다.
리만 곡률 텐서는 레비-시비타 접속 [math]\displaystyle{ \nabla }[/math] 을 이용하여 다음과 같이 표기한다. R은 Riemann의 R이다.
[math]\displaystyle{ R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w - \nabla_{[u,v]}w }[/math] 여기서 [u,v] 는 벡터장의 리 브라켓이다. 각 접선벡터 u, v 쌍에 대해서, R(u,v)는 접촉공간에서 manifold의 선형 변환이다.
기하학적 의미[편집 | 원본 편집]
성질[편집 | 원본 편집]
리만 곡률 텐서는 다음의 세 가지 혹은 네 가지 성질을 갖고 있다.
반대칭성
지표 교환 대칭성
제 1 비앙키 항등성
제 2 비앙키 항등성
성질의 증명[편집 | 원본 편집]
제 2 비앙키 항등성은 3차 공변도함수를 이용하여 증명할 수 있다.