론스키안

정의

n-1번 미분가능한 함수 [math]\displaystyle{ f_1,f_2,\cdots,f_n:I\to\mathbb{R} }[/math] (단, [math]\displaystyle{ I\subseteq \mathbb{R} }[/math])이 주어졌다고 하자. 그러면 행렬식

[math]\displaystyle{ W(f_1,f_2,\cdots,f_n)=\det\begin{bmatrix} f_1(t) & f_2(t) & \cdots & f_n(t)\\ f_1'(t) & f_2'(t) & \cdots & f_n'(t)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ f_1^{(n-1)}(t) & f_2^{(n-1)}(t) & \cdots & f_n^{(n-1)}(t) \end{bmatrix} }[/math]

을 [math]\displaystyle{ f_1,f_2,\cdots,f_n }[/math]에 대한 론스키안(Wronskian)이라 한다.

예

함수 [math]\displaystyle{ \sin t, \cos t }[/math]에 대한 론스키안은

[math]\displaystyle{ W(\sin t, \cos t)=\det\begin{bmatrix} \sin t & \cos t\\ \cos t & -\sin t \end{bmatrix}=-1 }[/math]

이다.

성질

주어진 함수들이 일차종속이면 론스키안은 영이다. 그러나 역은 성립하지 않는다. 즉, 론스키안이 영이더라도 주어진 함수가 일차종속은 아닐 수 있다. 예를 들어,

[math]\displaystyle{ W(x^2, x|x|)=\det\begin{bmatrix} x^2 & x|x|\\ 2x & 2|x| \end{bmatrix}=0 }[/math]

이지만 [math]\displaystyle{ c_1 x^2 + c_2 x|x|=0 }[/math]를 만족하는 상수 [math]\displaystyle{ c_1,c_2 }[/math]는 [math]\displaystyle{ c_1=c_2=0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ x^2,x|x| }[/math]는 일차독립이다.