랑글랜드 프로그램

로버트 랑글랜즈 (Robert Langlands)에 의해 시작된 거대한 추측들을 모아놓은 것들. 정수론의 일부인데, 모듈라 형식을 일반화한 보형형식와 갈루아 표현을 연결하려는 추측이다. 어려운지 아직도 증명 안 된 부분이 많다.

초간단 introduction

이하 글은 학부 수준의 간단한 대수학 지식을 전제로 합니다.

Legendre symbol이란 것을 정의한다. p가 소수고 a가 p로 나누어지지 않는다고 하자. 그렇다면

[math]\displaystyle{ x^2\equiv a \pmod p }[/math]

를 만족하는 x가 있다면 1, 없다면 -1을 주는 a에 대한 함수를 생각하고 이를

[math]\displaystyle{ \left(\frac{a}{p}\right) }[/math]

라고 쓰자. 그렇다면 이것은 [math]\displaystyle{ (\Bbb{Z}/p\Bbb{Z})^{\times}\to \Bbb{Z}/2\Bbb{Z} }[/math]인 group homomorphism이 된다. group homomorphism이라는 것은 다음과 같은 Euler criterion

[math]\displaystyle{ \left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{\frac{p-1}{2}} \pmod p }[/math]

로 손쉽게 증명할 수 있다.

그렇다면 우리는 이것을 어떻게든 계산하는 것이 중요함을 알게 된다. 그래서 나온 것이 quadratic reciprocity인데, p와 q가 홀수인 소수라면

[math]\displaystyle{ \left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}} }[/math]

라는 내용. 이것이 중요한 이유는 a는 소인수분해로 소수들의 곱으로 나타낼 수 있고, 소수일 때는 quadratic reciprocity로 밑에 있는 소수의 크기를 줄일 수 있다. 이때 음수거나 짝수인 소수, 그러니까 2일 때가 있을 수 있는데, 이때는

[math]\displaystyle{ \left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}},\,\,\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}} }[/math]

로 계산해준다.

이하 글은 석사 1년차 수준의 대수적 정수론 지식을 전제로 합니다. Neukirch의 Algebraic Number Theory 챕터 1을 한번 보고 오시는 걸 추천.

Legendre symbol이 의미하는 것은 대수적 정수론의 입장에서 봤을 때 quadratic extension에서 어떤 prime이 split한지 아닌지를 알려준다. 그러니까, 소수와 field extension. 이렇게 두 개가 주어져 있을 때 이 둘 사이의 정보를 준다는 것이다. 그리고 Legendre symbol은 일종의 Dirichlet character이기도 해서, 해석적 정보도 이 Legendre symbol을 통해서 얻을 수 있다.

대수적 정수론에서 소수에 대해 아는 것은 매우 중요하고, number field의 finite field extension L/K와 [math]\displaystyle{ \mathcal{O}_K }[/math]의 prime ideal [math]\displaystyle{ \mathfrak{p} }[/math]가 있을 때 [math]\displaystyle{ \mathfrak{p} }[/math]가 L 위에서 어떤 행동을 보이는 지는 매우 중요하다. 그렇기 때문에 Legendre symbol 비슷한 것을 만들고, 그것으로 quadratic reciprocity 비슷한 것을 만들어 증명한다면 prime ideal에 대한 거의 모든 것을 알 수 있다. L/K가 number field 사이의 Galois extension이라고 하고 K의 ring of integers를 [math]\displaystyle{ \mathcal{O}_K }[/math], 이것의 prime ideal 하나를 [math]\displaystyle{ \mathfrak{p} }[/math]라고 하자. 그리고 [math]\displaystyle{ \mathrm{Gal}(L/K) }[/math]의 원소 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]에 대해서

[math]\displaystyle{ x^{\sigma}\equiv x^{|\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}|} \pmod {\mathfrak{p}} }[/math]

for all [math]\displaystyle{ x\in \mathcal{O}_L }[/math]일 때 이런 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]들의 집합을 [math]\displaystyle{ \mathrm{Fr}_{\mathfrak{p}} }[/math]라고 하자. [math]\displaystyle{ \mathfrak{P} }[/math]가 [math]\displaystyle{ \mathfrak{p} }[/math] 위의 prime ideal이고 [math]\displaystyle{ \mathcal{O}_K/\mathfrak{p} }[/math]를 [math]\displaystyle{ K(\mathfrak{p}) }[/math]로 간단히 적는다면

[math]\displaystyle{ \mathrm{Gal}(L/K)\to \mathrm{Gal}(L(\mathfrak{P})/K(\mathfrak{p})) }[/math]

라는 canonical map이 있고, 오른쪽 group은 cyclic이다. 그리고 오른쪽 group의 generator는 [math]\displaystyle{ x\mapsto x^{N\mathfrak{p}} }[/math]다. 여기에서

[math]\displaystyle{ N\mathfrak{p}=|K(\mathfrak{p})| }[/math]

로 정의한다. 이것이 Fr라는 이름이 붙은 이유다. 정말로 Frobenius morphism같이 행동하는 Galois group의 element들을 모은 거니까. 그리고 이것은 Legendre symbol의 일반화가 된다.

그렇다면 이것을 계산하는 것은 매우 중요해지는데, 이것은 prime ideal에 대한 정보를 주고, Galois group의 element는 직접 prime ideal을 계산하는 것보다 훨씬 쉽다. 그냥 노가다로 계산하든 아니면 추상적으로 가든. 그리고 그 계산은 quadratic reciprocity law의 일반화로 Artin reciprocity law라는 이름으로 있다. Artin reciprocity law를 아름다운 방법으로 나타내기 위해서 idéle class group이라는 것을 정의하는데, adele은 K가 global field라면

[math]\displaystyle{ \Bbb{A}_K=\left\{(x_{\mathfrak{p}})\in \prod_{\mathfrak{p}}K_{\mathfrak{p}}|x_{\mathfrak{p}}\in \mathcal{O}_{\mathfrak{p}}\text{ for almost all }\mathfrak{p}\right\} }[/math]

로 정의하고 이것을 adéle이라고 부른다. 여기에 topology를 주는데, 그냥 restricted product topology를 준다. 그렇다면 이는 topological ring이 된다. 이것을 만드는 이유는, 소수들의 정보를 직접적으로 global field의 정보로 맞추기 위해서. 그리고

[math]\displaystyle{ \Bbb{A}^{\times}_K=\{x\in \Bbb{A}_K|x\text{ is invertible}\} }[/math]

라고 정의하는데, topology는 그냥 subspace topology가 아닌

[math]\displaystyle{ \begin{aligned} x&\mapsto (x,x^{-1}) \\ \Bbb{A}^{\times}_{K}&\to \Bbb{A}_{K}\times \Bbb{A}_{K} \end{aligned} }[/math]

가 있을 때 오른쪽 set의 topology의 subspace topology로 준다. 이렇게 주는 이유는 이것을 topological group으로 만들고 싶어서. 이를 idéle이라고 한다. 그리고

[math]\displaystyle{ C_K=\Bbb{A}^{\times}/K^{\times} }[/math]

라고 정의한다. 이때 [math]\displaystyle{ K^{\times}\subseteq \Bbb{A}^{\times} }[/math]인 것처럼 썼는데, [math]\displaystyle{ \begin{aligned} x&\mapsto (x)_{\mathfrak{p}} \\ K&\to \Bbb{A}^{\times}_{K} \end{aligned} }[/math]

를 생각하자. 여기에서 [math]\displaystyle{ x\in \mathcal{O}_{\mathfrak{p}} }[/math] for almost all [math]\displaystyle{ \mathfrak{p} }[/math]란 정리를 썼는데, 간단히 (x)라는 principal ideal을 Dedekind domain [math]\displaystyle{ \mathcal{O}_K }[/math]에서 소인수분해 하면 된다. 더 강력하게 유한 개를 제외한 모든 prime ideal에 대해서 [math]\displaystyle{ x\in \mathcal{O}_{\mathfrak{p}}\setminus \mathfrak{m}_{\mathfrak{p}} }[/math]를 만족한다. [math]\displaystyle{ \mathfrak{m}_{\mathfrak{p}} }[/math]는 [math]\displaystyle{ \mathcal{O}_{\mathfrak{p}} }[/math]의 maximal ideal이라고 하자.

그렇다면 n이 정수일 때

[math]\displaystyle{ x\in \mathfrak{p}^n\setminus \mathfrak{p}^{n+1} }[/math]

이라면 [math]\displaystyle{ |x|_{\mathfrak{p}}=(N\mathfrak{p})^{-n} }[/math]이라고 정의하자. 그렇다면

[math]\displaystyle{ (x_{\mathfrak{p}})_{\mathfrak{p}}\mapsto \prod_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p}^{-\log_{N\mathfrak{p}}|x|_{\mathfrak{p}}} }[/math]

를 정의할 수 있고, 따라서 위에서 정의했던 것과 합하면 L/K가 global field의 Galois extension이고 [math]\displaystyle{ \mathrm{ab} }[/math]라는 첨자가 abelianization을 나타낸다고 하면

[math]\displaystyle{ C_K\longrightarrow \mathrm{Gal}(L/K)^{\mathrm{ab}} }[/math]

라는 canonical homomorphism을 만들 수 있다. 그리고 이것은 continuous function이고 더 나아가서 그 kernel은 [math]\displaystyle{ N_{L/K}C_L }[/math]이라는 것이 Artin reciprocity law가 말하는 바이다. 여기에서 [math]\displaystyle{ N_{L/K} }[/math]는 norm으로

[math]\displaystyle{ N_{L/K}(x)=\prod_{\sigma\in \mathrm{Gal}(L/K)}\sigma(x) }[/math]

라고 정의한다. 이것은 quadratic reciprocity law랑 정말로 많이 떨어진 것 같지만 [math]\displaystyle{ K=\Bbb{Q},L=\Bbb{Q}(\sqrt{a}) }[/math]라고 한다면 quadratic reciprocity를 바로 유도해낼 수 있다.

이것의 증명은 Tate cohomology를 이용하는데, 다음과 같은 정리가 이용된다. L/K의 degree를 n이라고 하면

[math]\displaystyle{ |H^2(\mathrm{Gal}(L/K),C_L)|=n }[/math]

이다. 증명은 10페이지는 간단히 넘기므로 생략한다. (...) 이것으로

[math]\displaystyle{ \hat{H}^0(\mathrm{Gal}(L/K),C_L)\overset{\cong}{\longrightarrow} \hat{H}^{-2}(\mathrm{Gal}(L/K),\Bbb{Z}) }[/math]

라는 canonical isomorphism을 만들 수 있고 이것은 곧 Artin reciprocity law다. local Artin reciprocity라는 것도 있는데, 이것은 K가 local field일 때

[math]\displaystyle{ K^{\times}/N_{L/K}L^{\times}\longrightarrow \mathrm{Gal}(L/K)^{\mathrm{ab}} }[/math]

라는 canonical isomorphism으로 주어진다. K가 local field면 [math]\displaystyle{ C_K=K^{\times} }[/math]라고 쓰자.

Artin reciprocity는 많은 것을 주는데, 어떤 prime에 대한 대수적 정보부터 L-function으로 나타냄으로서 얻을 수 있는 해석적 정보까지 다양하게 준다.

대수적 정수론에선 field에 대해서만 다루는 것이 아닌 field 위에 있는 어떤 구조도 다룬다. 대표적으로 elliptic curve. 그렇다면 그것들에 대해선 어떻게 행동하느냐?? 이것은 좀 더 어려운 문제다. 당장 Artin reciprocity law가 제대로 쓰이는 것도 abelian extension일 때가 고작인데. 이때는 단순히 Galois group을 생각하는 것이 아닌 좀 더 해석적인 배경에서 생각한다.

Tate thesis는 그런 해석적인 배경의 시초가 되었다. Tate thesis에서 한 것은 Riemann zeta function을 그냥 복소평면이 아닌 adéle에서 정의하는 것 이것은 그냥 Riemann zeta function, 그리고 Hecke L-function같은 것들을 밋밋하게 보는 것보다 훨씬 더 대수적 정수론과 맞물리도록 해줬다. 이것이 Langlands program의 시초가 되었다.

Tate는 단순히 1-dimensional character. 그러니까 Dirichlet character에 대해서만 생각했지만, 후에 수학자들은 이것이 modular form하고 관련 있음을 깨닫고 modular form을 adéle 위에서 다시 정의하기 시작한다. 이것은 위에서 본 [math]\displaystyle{ C_K/N_{L/K}C_L }[/math]쪽하고 많은 관련이 있다.

Tate는 Tate thesis를 쓸 때 Poisson summation formula의 adélic version. 자기 논문에선 Riemann-Roch theorem라고 쓴 공식을 썼다.

수학자들은 adéle 위에서 modular form의 일반화를 찾을 수 있었고, [math]\displaystyle{ \mathrm{SL}_2(\Bbb{Z}) }[/math]의 group action을 생각하던 중에 representation theory로 생각한다면 훨씬 자연스러움을 깨닫는다. 그렇게 만들어진 것이 automorphic representation. admissible representation이면서 [math]\displaystyle{ L^2(G(K)A_G\backslash G(\Bbb{A}_K)) }[/math]의 subquotient인 irreducible representation.

그렇다면 Poisson summation formula는 Selberg trace formula라는 다른 이름으로 나타나는데, 다음과 같다. [math]\displaystyle{ G^{\mathrm{der}} }[/math]이 anisotropic이면

[math]\displaystyle{ \sum_{\pi}m_{\pi}\mathrm{Tr}(\pi(f))=\sum_{\gamma}\tau(G_{\gamma})O_{\gamma}(f) }[/math]

. 좌변은 automorphic representation들의 isomorphic class들에 대해서 더하고, 우변은 [math]\displaystyle{ G(K) }[/math]-conjugacy class에 대해서 더한다. 그리고 [math]\displaystyle{ m_{\pi} }[/math]는 representation이 얼마나 [math]\displaystyle{ L^2(G(K)A_G\backslash G(\Bbb{A}_{K})) }[/math] 안에서 곱해졌는지 나타내는 숫자고, [math]\displaystyle{ \tau(G_{\gamma}) }[/math]쪽은 Tamagawa number다.

Selberg trace formula는 많이 유용해서 Jacquet-Langalands correspondence를 증명할 때 아주 중요하게 쓰였다. 하지만 결점이 있었는데 조건이 많이 세다는 것. 그래서 탄생한 학문이 trace formula라는 것인데, Arther, Kottwitz같은 수학자들이 Selberg trace formula를 개량하기 위해서 노력했고, 그렇게 Arthur-Selberg trace formula, Kottwitz trace formula같은 것들이 생겨난다. 참고로 이것들은 계산과정이 어마어마한지라 Arthur-Selberg trace formula같은 경우는 몇백 페이지가 필요하다.

Langlands는 여기에서 Langlands philosophy라는 것을 생각하는데, 어떤 대수적 정보. 그러니까 field 위에서 정의된 어떤 대수적, 정수론적 object들은 field 위에서 정의된 해석학적 object와 대응된다는 생각이다. 이는 맨 위에서 계산의 관점에서 바라봤던 것하고 약간 다른데, 이번엔 Galois group쪽에 대응되었던 것이 훨씬 더 어렵다. (...)

Langlands conjecture를 소개하기 전에 Weil group을 생각하자. Galois group을 보면 Frobenius morphism 뿐만 아니라 뭔가 쓸데 없어보이는 (!!) 것들도 많이 가지고 있는데, 그것들을 빼는 것이다. L/K가 local field거나 global field의 extension이라고 하자. 그렇다면 cohomology [math]\displaystyle{ H^2(\mathrm{Gal}(L/K),C_L) }[/math]는 cyclic임이 알려져 있고, 그 generator [math]\displaystyle{ u_{L/K}\in H^2(\mathrm{Gal}(L/K),C_L) }[/math]를 fundamental class라고 부른다. 그리고 이 fundamental class는 하나의 exact sequence를 만드는데, [math]\displaystyle{ 0\to C_L\longrightarrow W_{L/K}\longrightarrow \mathrm{Gal}(L/K)\to 0 }[/math]

를 만들고 [math]\displaystyle{ W_{L/K} }[/math]를 Weil group이라고 부른다. 이것은 nonarchimedean local field의 관점에서 볼 때 Frobenius morphism만 쏙 뺀 Galois group이라고 볼 수 있는데, K가 local field고 [math]\displaystyle{ G_K=\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K) }[/math]라고 하고 [math]\displaystyle{ I_K }[/math]가 inertia group이라고 하면 다음과 같은 isomorphism

[math]\displaystyle{ i:G_K/I_K\overset{\cong}{\longrightarrow} \mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}_K/k_K) }[/math]

이 있다. 여기에서 [math]\displaystyle{ k_K }[/math]는 K의 residue field라고 하자. 그렇다면 오른쪽 group엔 Frobenius morphism이 하나 있는데, 그 morphism은 [math]\displaystyle{ \Bbb{Z} }[/math]을 [math]\displaystyle{ \mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}_K/k_K) }[/math]의 subgroup으로 만들고

[math]\displaystyle{ W_{K}=\varprojlim_{L/K\text{ is Galois }} W_{L/K}=i^{-1}(\Bbb{Z}) }[/math]

로 표현할 수 있다. 이렇게 하면 Artin reciprocity는 상당히 깔끔하게 표현되는데, canonical isomorphism

[math]\displaystyle{ C_{K}\longrightarrow W^{\mathrm{ab}}_K }[/math]

이라고 표현할 수 있다!! 그것도 local field, global field 할 것 없이.

[math]\displaystyle{ W'_K }[/math]를 Weil-Deligne group scheme이라고 하자. 이는 [math]\displaystyle{ W_K\rtimes \Bbb{G}_a }[/math]로 정의되며, [math]\displaystyle{ W_K }[/math]는 [math]\displaystyle{ \Bbb{G}_a }[/math]에

[math]\displaystyle{ wxw^{-1}=\| w \| x }[/math]

라는 방식으로 act한다. || w ||를 곱하는 방식은 [math]\displaystyle{ q^{v(w)} }[/math]로. 여기에서 q는 residue field의 원소의 개수, v(w)는 w에 있는 Frobenius morphism이 곱해진 횟수

이제 [math]\displaystyle{ \mathcal{A}(G)=\mathcal{A}(G(K)) }[/math]를 irreducible admissible complex representation on complex field라고 하자. 반대쪽을 찾기 위해서 Langalands dual을 정의하는데, 모든 connected reductive group은 언제나 root datum [math]\displaystyle{ (X,\Psi,X^*,\Psi^*) }[/math] 하나에 대응되며 그 connected reductive group의 root쪽과 coroot쪽을 섞은 reductive group을 [math]\displaystyle{ \!{}^{L}G }[/math]라고 쓰자. 그리고

[math]\displaystyle{ \!{}^{L}G_{/K}=\!{}^{L}G^{\circ}\rtimes W'_{K} }[/math]

로 정의하고 이를 Langlands dual이라고 하자.

그리고 admissible representation [math]\displaystyle{ \phi:W'_K\to \!{}^{L}G }[/math]들을 모은 set을 [math]\displaystyle{ \Psi(G) }[/math]라고 하자. 그렇다면

[math]\displaystyle{ \mathcal{A}(G)\to \Psi(G) }[/math]

는 finite fiber를 갖고 [math]\displaystyle{ \psi }[/math]에 따른 그 finite set을 [math]\displaystyle{ \mathcal{A}_{\psi}(G) }[/math]라고 한다면 다음 조건들을 만족한다는 것이 local Langlands conjecture다.

• [math]\displaystyle{ \pi\in \mathcal{A}(G) }[/math]이라면 [math]\displaystyle{ \omega_{\pi} }[/math]를 이것의 central character라고 쓰자. 그렇다면 [math]\displaystyle{ \omega_{\pi}=\omega_{\psi} }[/math]가 된다.
• 어떻게 twisting해도 똑같이 옮겨간다. 그러니까 [math]\displaystyle{ \alpha\in H^1(W'_K,C(\!{}^{L}G^{\circ})) }[/math]라고 하고 이것의 associated character를 [math]\displaystyle{ \chi_{\alpha} }[/math]라고 한다면

[math]\displaystyle{ \mathcal{A}_{\alpha \cdot \psi}(G)=\{\pi \chi_{\alpha}:\pi\in \mathcal{A}_{\psi}(G)\} }[/math]

가 된다.

• 어떤 원소 [math]\displaystyle{ \pi \in \mathcal{A}_{\phi}(G) }[/math]가 modulo [math]\displaystyle{ C(G) }[/math]에서 [math]\displaystyle{ L^2 }[/math] 안에 든다는 것은 어떤 원소를 모든 원소로 바꿔도 되며 동시에 [math]\displaystyle{ \psi(W'_K) }[/math]가 [math]\displaystyle{ \!{}^{L}G }[/math]의 proper Levi subgroup 안에 들어가지 않는 것과 동치다.
• 이떤 원소 [math]\displaystyle{ \pi\in \mathcal{A}_{\psi}(G) }[/math]가 tempered라는 것은 어떤을 모든으로 바꿔도 되며 동시에 [math]\displaystyle{ \psi(W'_K) }[/math]가 bounded라는 것과 동치다.
• 이제 다른 reductive K-group H를 생각하자. 그리고 [math]\displaystyle{ \eta:G(K)\to H(K) }[/math]가 abelian인 kernel과 cokernel을 가진다고 하자. 그러면 이것은 natural map [math]\displaystyle{ \!{}^{L}\eta:\!{}^{L}G\to \!{}^{L}H }[/math]를 만들고 [math]\displaystyle{ \psi\in \Psi(G) }[/math]라면

[math]\displaystyle{ \psi'=\!{}^{L}\eta\circ \psi }[/math]

라고 정의하자. 그렇다면 [math]\displaystyle{ \psi\in \mathcal{A}_{\psi}(G) }[/math]를 H(K)-module로 본다면 이것은 [math]\displaystyle{ \mathcal{A}_{\psi'}(H) }[/math]에 있는 finite개의 irreducible admissible representations으로 쪼개진다.

참고로 필자도 이 conjecture의 formalization을 완벽히 이해한 건 아니기 때문에 여러 사람이 같이 쓴 An introduction to the Langlands program에 있던 것을 배껴 적었다. 필자의 개인적인 생각에 의하면 이것보다 더 좋은 formalization이 있을 것 같다.

Global의 경우엔 local의 경우를 그냥 붙이면 되는데 추가바람

Trace formula

Langlands의 생각이 맞다면, 다음은 모두 똑같은 것들이다.

• (Poisson summation formula)

[math]\displaystyle{ \sum_{n\in \Bbb{Z}}f(n)=\sum_{n\in \Bbb{Z}}\hat{f}(n) }[/math]

• (Grothendieck trace formula)

[math]\displaystyle{ |X(k)|=\sum^{2n}_{i=0}(-1)^i\mathrm{Tr}(\mathrm{Fr}^n_{X};H^i(X,\Bbb{Q}_{\ell})) }[/math]

• (Selberg trace formula)

[math]\displaystyle{ \sum_{\pi}m_{\pi}\mathrm{Tr}(\pi(f))=\sum_{\gamma}\tau(G_{\gamma})O_{\gamma}(f) }[/math]

• (Smith-Minkowski-Siegel mass formula)

[math]\displaystyle{ \sum_{q}\frac{1}{|O_{q}(\Bbb{Z})|}=\frac{B_{\frac{n}{4}}}{n}\prod_{1\le j\le \frac{n}{2}}\frac{B_j}{4j} }[/math]

똑같아 보이는가??그럴 리가. 꼴도 다 다르고 이거 뭐야

가장 유명한 Poisson summation formula는 사실 Grothendieck trace formula의 archimedean 버전이다. 사실 nonarchimedean에선 Fourier analysis가 있어도 그냥 함수 적분에 불과했는데 이 관계를 본 Deligne은 이거랑은 완전 다른, ℓ-adic Fourier transform을 만든다.

Selberg trace formula와 Smith-Minkowski-Siegel mass formula는 모두 global field에서 서술되는 것들이다. Selberg trace formula와 그 일반화들은 너무 중요하고 Smith-Minkowski-Siegel mass formula는 그 Ngo가 필즈상을 받은 이유인 Fundamental lemma를 만들고 증명하는데 원동력이 되었다.