닮음행렬

정의[편집 | 원본 편집]

두 정사각행렬 [math]\displaystyle{ A,B }[/math]에 대해, 가역행렬 [math]\displaystyle{ P }[/math]가 존재해

[math]\displaystyle{ B=P^{-1}AP }[/math]

이면 [math]\displaystyle{ B }[/math]는 [math]\displaystyle{ A }[/math]와 닮음이라고 한다. 이때, [math]\displaystyle{ B }[/math]가 [math]\displaystyle{ A }[/math]와 닮음이면 [math]\displaystyle{ A }[/math]는 [math]\displaystyle{ B }[/math]와 닮음이기 때문에, 그냥 [math]\displaystyle{ A }[/math]와 [math]\displaystyle{ B }[/math]는 닮음이라고 해도 무방하다.

동치관계[편집 | 원본 편집]

세 정사각행렬 [math]\displaystyle{ A,B,C }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ A }[/math]는 [math]\displaystyle{ A }[/math]와 닮음이다.
[math]\displaystyle{ A }[/math]가 [math]\displaystyle{ B }[/math]와 닮음이면 [math]\displaystyle{ B }[/math]도 [math]\displaystyle{ A }[/math]와 닮음이다.
[math]\displaystyle{ A }[/math]가 [math]\displaystyle{ B }[/math]와 닮음이고 [math]\displaystyle{ B }[/math]가 [math]\displaystyle{ C }[/math]와 닮음이면 [math]\displaystyle{ A }[/math]는 [math]\displaystyle{ C }[/math]와 닮음이다.

Proof [math]\displaystyle{ I^{-1}AI=IAI=A }[/math]이므로 원하는 결론을 얻는다. [math]\displaystyle{ A }[/math]가 [math]\displaystyle{ B }[/math]와 닮음이면 [math]\displaystyle{ A=P^{-1}BP }[/math]이고 따라서 [math]\displaystyle{ B=\left(P^{-1}\right)^{-1}AP^{-1} }[/math]이므로 원하는 결론을 얻는다. 조건에 의해 [math]\displaystyle{ A=P_1^{-1}BP_1 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ B=P_2^{-1}CP_2 }[/math]인 정사각행렬 [math]\displaystyle{ P_1,P_2 }[/math]가 존재한다. 그러면 [math]\displaystyle{ A=P_1^{-1}BP_1=P_1^{-1}P_2^{-1}CP_2P_1=\left(P_2P_1\right)^{-1}CP_2P_1 }[/math]이므로 원하는 결론을 얻는다.

닮음불변량[편집 | 원본 편집]

두 닮음행렬의 성질이 같은 값을 가지면 그 성질을 닮음불변량(similarity invariant)이라고 한다. 다음 성질이 닮음불변량인 것이 알려져 있다.