단사 함수

정의역의 임의의 서로 다른 두 원소를 골랐을 때, 그 두 원소의 함수값도 다르면 그 함수를 단사 함수(injection, one-to-one)라 부르며, 때에 따라서는 일대일 함수라 부르기도 한다. 일대일 대응과는 다른 개념이니 헷갈리지 않도록 하자. 수학적 기호로 나타내면 다음과 같다.

함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]에 대해,

1. [math]\displaystyle{ x_1\neq x_2 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x_1\right)\neq f\left(x_2\right) }[/math]이다.
2. [math]\displaystyle{ f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ x_1=x_2 }[/math]이다.

중 하나를 만족하면 단사 함수가 된다. 1번 정의와 2번 정의는 서로 대우 명제이므로 동치임을 쉽게 확인할 수 있다.

성질

두 함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y,\,g:Y\to Z }[/math]가 주어졌다 하자.

1. [math]\displaystyle{ f }[/math]와 [math]\displaystyle{ g }[/math]가 단사 함수라면 [math]\displaystyle{ g\circ f }[/math]도 단사 함수이다.
   • [math]\displaystyle{ \left(g\circ f\right)\left(x_1\right)=\left(g\circ f\right)\left(x_2\right)\Leftrightarrow g\left(f\left(x_1\right)\right)=g\left(f\left(x_2\right)\right)\Rightarrow f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)\Rightarrow x_1=x_2 }[/math].
2. [math]\displaystyle{ g\circ f }[/math]가 단사 함수라면 [math]\displaystyle{ f }[/math]도 단사 함수이다. [math]\displaystyle{ g }[/math]가 단사 함수일 필요는 없다.
   • [math]\displaystyle{ f }[/math]가 단사 함수가 아니라 가정하자. 그럼 적당한 [math]\displaystyle{ x_1\neq x_2 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)=y }[/math]이다. 즉, [math]\displaystyle{ \left(g\circ f\right)\left(x_1\right)=\left(g\circ f\right)\left(x_2\right)\Leftrightarrow g\left(f\left(x_1\right)\right)=g\left(f\left(x_2\right)\right) \Leftrightarrow g\left(y\right)=g\left(y\right) }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ g\circ f }[/math]는 단사 함수가 아니다.
3. [math]\displaystyle{ f }[/math]가 단사 함수이면 [math]\displaystyle{ \left|X\right|\leq\left|Y\right| }[/math]이다 (집합의 크기가 무한이 될 수 있음에 주의).
   • [math]\displaystyle{ \left|X\right|\gt \left|Y\right| }[/math]라 가정하면 적당한 [math]\displaystyle{ x_1\neq x_2 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right) }[/math]임을 쉽게 보일 수 있다. 이는 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 단사 함수라는 가정에 모순이므로 [math]\displaystyle{ \left|X\right|\leq\left|Y\right| }[/math].
4. [math]\displaystyle{ f }[/math]가 단사 함수이고 [math]\displaystyle{ \left|X\right|=\left|Y\right|\lt \infty }[/math]라 가정하자. 그럼 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 전사 함수이다.
   • [math]\displaystyle{ f\left(X\right)\subseteq Y }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \left|f\left(X\right)\right|=\left|Y\right| }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ f\left(X\right)=Y }[/math]이다. 즉, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 전사 함수이고, 곧 일대일 대응 함수가 된다.
5. [math]\displaystyle{ f }[/math]가 단사 함수이면 역함수를 정의할 수 있다.
   • [math]\displaystyle{ f^{-1}:f\left(X\right)\to X }[/math], [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=y\Leftrightarrow f^{-1}\left(y\right)=x }[/math].

예시

• 항등 함수 [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\,f\left(x\right)=x }[/math]는 단사 함수이다.
• [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\,f\left(x\right)=x^2 }[/math]는 단사 함수가 아니다. 하지만 정의역을 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^+\cup\left\{0\right\} }[/math]로 제한하면 단사 함수가 된다. 이때, 역함수는 [math]\displaystyle{ f^{-1}:\mathbb{R}^+\cup\left\{0\right\}\to\mathbb{R}^+\cup\left\{0\right\},\,f^{-1}\left(x\right)=\sqrt x }[/math]가 된다.

같이 보기

• 전사 함수
• 전단사 함수
• 역함수