기약다항식

정의[편집 | 원본 편집]

[math]\displaystyle{ F }[/math]에 대해, 상수가 아닌 다항식 [math]\displaystyle{ p(x)\in F[x] }[/math]가 영이 아닌 상수 다항식과 자신의 associate만을 인자로 가지면 [math]\displaystyle{ p(x) }[/math]기약(irreducible)이라고 한다. [math]\displaystyle{ p(x) }[/math]가 기약이 아니면, 약분가능하다고 한다.

성질[편집 | 원본 편집]

  • 영이 아닌 다항식 [math]\displaystyle{ f(x)\in F[x] }[/math]가 약분가능할 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]를 차수가 더 낮은 두 다항식의 곱으로 나타낼 수 있다는 것이다.

[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]가 약분가능하다고 가정하자. 그러면 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]는 상수도, associate도 아닌 인자 [math]\displaystyle{ g(x) }[/math]를 가진다. 따라서 [math]\displaystyle{ f(x)=g(x)h(x) }[/math][math]\displaystyle{ g(x),h(x)\in F[x] }[/math]가 존재한다. 만약 [math]\displaystyle{ g(x) }[/math][math]\displaystyle{ f(x) }[/math]의 차수를 가지면, [math]\displaystyle{ h(x) }[/math][math]\displaystyle{ 0 }[/math]의 차수를 가지는데, 이는 [math]\displaystyle{ h(x) }[/math]가 영이 아닌 상수 다항식이라는 것을 뜻한다. 그러면 [math]\displaystyle{ g(x) }[/math][math]\displaystyle{ f(x) }[/math]의 associate가 되어 모순이다. 마찬가지로 [math]\displaystyle{ h(x) }[/math]의 차수가 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]의 차수와 같을 때에도 [math]\displaystyle{ g(x) }[/math]가 상수 다항식이라는 결론을 얻어 모순이 된다. 따라서 [math]\displaystyle{ g(x) }[/math][math]\displaystyle{ h(x) }[/math]의 차수는 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]의 차수보다 낮다. 이제 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]를 차수가 더 낮은 두 다항식의 곱으로 나타낼 수 있다고 가정하면, [math]\displaystyle{ f(x)=g(x)h(x) }[/math][math]\displaystyle{ g(x),h(x)\in F[x] }[/math]가 존재하고 [math]\displaystyle{ \deg g(x)\lt \deg f(x) }[/math], [math]\displaystyle{ \deg h(x)\lt \deg f(x) }[/math]이다. 만약 [math]\displaystyle{ g(x) }[/math][math]\displaystyle{ f(x) }[/math]의 associate라면 영이 아닌 [math]\displaystyle{ c\in F }[/math]가 존재해 [math]\displaystyle{ g(x)=cf(x) }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \deg g(x)=\deg f(x) }[/math]가 되어 모순이고, [math]\displaystyle{ g(x) }[/math]가 영이 아닌 상수 다항식이라면 [math]\displaystyle{ h(x) }[/math][math]\displaystyle{ f(x) }[/math]의 associate가 되어 [math]\displaystyle{ \deg h(x)=\deg f(x) }[/math]이므로 모순이다. 따라서 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]는 영이 아닌 상수 다항식이나 자신의 associate가 아닌 인자를 가지므로 약분가능하다.

예시[편집 | 원본 편집]

  • [math]\displaystyle{ x^2+1 }[/math][math]\displaystyle{ \mathbb{R}[x] }[/math]에서 기약이지만, [math]\displaystyle{ \mathbb{C}[x] }[/math]에서 약분가능하다.
  • [math]\displaystyle{ x^2-3 }[/math][math]\displaystyle{ \mathbb{Q}[x] }[/math]에서 기약이지만, [math]\displaystyle{ \mathbb{R}[x] }[/math]에서 약분가능하다.

같이 보기[편집 | 원본 편집]