개요[편집 | 원본 편집]
극좌표계(polar coordinate system)는 2차원 좌표계의 일종으로, 거리와 방향을 이용해 지점의 위치를 나타낸다.
역사[편집 | 원본 편집]
정의[편집 | 원본 편집]
평면 위에서 한 점 O와 반직선 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{\rm{OX}} }[/math]를 고정하면 평면 위의 임의의 점 P의 위치는 [math]\displaystyle{ \overline{\rm{OP}},\angle \rm{XOP} }[/math]에 의해 결정된다. 고정된 점 O를 원점, 반직선 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{\rm{OX}} }[/math]를 극축이라 하고, 원점과 극축이 주어진 평면을 극평면이라고 한다. 극평면 위의 점 P에 대해 [math]\displaystyle{ \overline{\rm{OP}}=r, \angle \rm{XOP}=\theta }[/math]로 두면 순서쌍 [math]\displaystyle{ (r,\theta) }[/math]를 극좌표라고 하고 이때 r을 점 P의 동경, θ의 일반각을 P의 편각이라고 한다.[1]
[math]\displaystyle{ (-r,\theta) }[/math]는 [math]\displaystyle{ (r,\theta+\pi) }[/math]로 정의한다. 즉 [math]\displaystyle{ \left(1, \frac{\pi}{4}\right) }[/math]는 [math]\displaystyle{ \left(-1, \frac{5\pi}{4}\right) }[/math]로도 나타낼 수 있다.
직교좌표와 극좌표의 관계[편집 | 원본 편집]
직교좌표를 극좌표로[편집 | 원본 편집]
평면 위의 한 점이 직교좌표로는 [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math], 극좌표로는 [math]\displaystyle{ (r,\theta) }[/math]로 나타난다고 하자. [math]\displaystyle{ x,y }[/math]를 [math]\displaystyle{ r,\theta }[/math]의 식으로 나타내면
- [math]\displaystyle{ x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta }[/math]
이다.
극좌표를 직교좌표로[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ r,\tan\theta }[/math] 구하기[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ r\ge 0 }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ r,\theta }[/math]를 [math]\displaystyle{ x,y }[/math]에 대한 식으로 나타내면,
- [math]\displaystyle{ r=\sqrt{x^2+y^2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \tan\theta = \frac{y}{x} }[/math]
이다.
[math]\displaystyle{ -\pi\lt \theta \le \pi }[/math]일 때 θ 구하기[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ -\pi\lt \theta \le \pi }[/math]로 제한할 때 θ를 곧바로
- [math]\displaystyle{ \theta=\arctan \frac{y}{x} }[/math]
로 구하면 안 된다. 왜냐 하면 아크탄젠트 함수 [math]\displaystyle{ \arctan x }[/math]는 [math]\displaystyle{ \tan x \left(-\frac{\pi}{2} \lt x \lt \frac{\pi}{2}\right) }[/math]의 역함수이므로 [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math]가 오른쪽 반평면 [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math]에 있을 때만 참이기 때문이다. [math]\displaystyle{ x\lt 0 }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ y\gt 0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \tan x \left(\frac{\pi}{2}\lt x \lt \frac{3\pi}{2}\right) }[/math]의 역함수는 [math]\displaystyle{ \arctan x + \pi }[/math], [math]\displaystyle{ y\lt 0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \tan x \left(-\frac{3\pi}{2} \lt x \lt -\frac{\pi}{2}\right) }[/math]의 역함수는 [math]\displaystyle{ \arctan x - \pi }[/math]이므로 θ에 대한 식은 다음과 같이 주어진다.
- [math]\displaystyle{ \theta=\begin{cases} \arctan\frac{y}{x},& x\gt 0\\ \arctan\frac{y}{x}+\pi,& x\lt 0\text{ and }y\ge 0\\ \arctan\frac{y}{x}-\pi,& x\lt 0\text{ and }y\lt 0\\ \frac{\pi}{2},&x=0\text{ and }y\gt 0\\ -\frac{\pi}{2},&x=0\text{ and }y\lt 0\\ \rm{undefined},&x=0\text{ and }y=0 \end{cases} }[/math]
이다.
좌표의 유일성[편집 | 원본 편집]
직교좌표계와 달리 한 점의 좌표는 유일하게 결정되지 않는다. 예를 들어 직교좌표계에서 [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math]로 나타나는 점은 극좌표계에서 [math]\displaystyle{ \left(\sqrt{2},\frac{\pi}{4}\right) }[/math]와 [math]\displaystyle{ \left(\sqrt{2},-\frac{7\pi}{4}\right) }[/math]로 나타낼 수 있다. 일반적으로 [math]\displaystyle{ (r,\theta) }[/math]와 같은 점은 [math]\displaystyle{ ((-1)^n r,\theta+n\pi) }[/math]로 무수히 많다.
극방정식으로 나타난 곡선[편집 | 원본 편집]
직교좌표계에서 [math]\displaystyle{ x,y }[/math]를 이용해 곡선의 방정식을 나타낼 수 있는 것처럼 극좌표 성분 [math]\displaystyle{ r,\theta }[/math]를 이용해 곡선의 방정식을 나타낼 수 있다.
좌표변환[편집 | 원본 편집]
곡선의 방정식이 다음과 같이 주어졌다고 하자.
- [math]\displaystyle{ r=\sin\theta }[/math]
식의 양변에 r을 곱하면
- [math]\displaystyle{ r^2=r\sin\theta }[/math]
이고, [math]\displaystyle{ r^2=x^2+y^2 }[/math], [math]\displaystyle{ r\sin\theta=y }[/math]이므로
- [math]\displaystyle{ x^2+y^2=y }[/math]
을 얻는다. 식을 정리하면
- [math]\displaystyle{ x^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2 }[/math]
으로, 중심이 [math]\displaystyle{ \left(0,\frac{1}{2}\right) }[/math]이고 반지름이 [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math]인 원을 나타낸다.
예시[편집 | 원본 편집]
직선의 방정식[편집 | 원본 편집]
원점을 지나고 x축의 양의 방향과 이루는 각이 c인 직선의 방정식
- [math]\displaystyle{ \theta=c }[/math]
원점과의 거리가 a이고 y축에 평행한 직선의 방정식
- [math]\displaystyle{ r=a\sec\theta }[/math]
원점과의 거리가 a이고 x축에 평행한 직선의 방정식
- [math]\displaystyle{ r=a\csc\theta }[/math]
일반적으로 직교좌표계에서 직선은
- [math]\displaystyle{ ax+by=c }[/math] (단, [math]\displaystyle{ a,b,c }[/math]는 상수)
로 나타낼 수 있다. 이제 이 직선을 극좌표계로 나타내보자. [math]\displaystyle{ x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta }[/math]를 직선의 방정식에 대입하면
- [math]\displaystyle{ ar\cos\theta+br\sin\theta=c }[/math]
이고 다시 쓰면
- [math]\displaystyle{ r(a\cos\theta+b\sin\theta)=c }[/math]
이다. 삼각함수의 합성을 이용하면
- [math]\displaystyle{ r\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\theta_0)=c\quad \left(\cos\theta_0=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin\theta_0=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right) }[/math]
이고 따라서
- [math]\displaystyle{ r=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\sec(\theta-\theta_0) }[/math]
이다.
원의 방정식[편집 | 원본 편집]
원점을 중심으로 하고 반지름이 a인 원의 방정식은
- [math]\displaystyle{ r=a }[/math]
이다. 일반적으로 [math]\displaystyle{ (r_0,\alpha) }[/math]를 중심으로 하고 반지름이 a인 원의 한 점을 [math]\displaystyle{ (r,\theta) }[/math]라고 하자. 그러면 원점과 [math]\displaystyle{ (r_0,\alpha), (r,\theta) }[/math]를 세 꼭짓점으로 하는 삼각형을 생각할 수 있다. 그러면 코사인 법칙에 의해
- [math]\displaystyle{ \cos(\theta-\alpha)=\frac{r^2+r_0^2-a^2}{2rr_0} }[/math]
를 얻는다. 따라서 일반적인 원의 방정식은 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ r^2-2rr_0\cos(\theta-\alpha)+r_0^2=a^2 }[/math]
아르키메데스 나선[편집 | 원본 편집]
- [math]\displaystyle{ r=\theta }[/math]
카디오이드[편집 | 원본 편집]
- [math]\displaystyle{ r=1+\cos\theta }[/math]
나비 곡선[편집 | 원본 편집]
나비 곡선은 Temple H. Fay가 1989년에 소개한 곡선이다. 나비 곡선의 방정식은 다음과 같이 주어진다.[2]
- [math]\displaystyle{ r=e^{\sin\theta}-2\cos 4\theta+\sin^5 \frac{2\theta-\pi}{24} }[/math]
이차곡선[편집 | 원본 편집]
극좌표계에선 직교좌표계와 달리 이차곡선의 방정식을 하나로 나타낼 수 있다. 원점과 [math]\displaystyle{ x }[/math]축 위의 한 점을 초점으로 하는 이차곡선에 대한 방정식은 일반적으로 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ r=\frac{\alpha}{1+\epsilon\cos\theta} }[/math]
이때,
- [math]\displaystyle{ |\epsilon| \gt 1 }[/math]일 때, 쌍곡선
- [math]\displaystyle{ |\epsilon| = 1 }[/math]일 때, 포물선
- [math]\displaystyle{ 0 \lt |\epsilon| \lt 1 }[/math]일 때, 타원
- [math]\displaystyle{ \epsilon = 0 }[/math]일 때, 원
이다.
곡선의 대칭성[편집 | 원본 편집]
- [math]\displaystyle{ f(\theta)=f(-\theta) }[/math]이면 그래프는 x축에 대해 대칭이다.
- [math]\displaystyle{ f(\theta)=-f(-\theta) }[/math]이면 그래프는 y축에 대해 대칭이다.
- [math]\displaystyle{ f(\theta)=f(\theta+\pi) }[/math]이면 그래프는 원점에 대해 대칭이다.
곡선의 교점[편집 | 원본 편집]
곡선 [math]\displaystyle{ r=4\cos 2\theta }[/math]와 원 [math]\displaystyle{ r=2 }[/math]의 교점을 구해보자. [math]\displaystyle{ r=2 }[/math]를 [math]\displaystyle{ r=4\cos 2\theta }[/math]에 대입하면
- [math]\displaystyle{ 2=4\cos 2\theta }[/math]
이므로
- [math]\displaystyle{ \cos 2\theta = \frac{1}{2} }[/math]
이다. [math]\displaystyle{ -\pi \lt \theta \le \pi }[/math]의 범위에서 이 방정식의 해는
- [math]\displaystyle{ \theta =\frac{\pi}{6},-\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},-\frac{5\pi}{6} }[/math]
이므로 [math]\displaystyle{ \left(2,\frac{\pi}{6}\right),\left(2,-\frac{\pi}{6}\right),\left(2,\frac{5\pi}{6}\right),\left(2,-\frac{5\pi}{6}\right) }[/math]이 곡선의 교점임을 알 수 있다. 그러나 실제로 곡선을 그려보면 곡선의 교점은 4개가 아니라 8개이다. 이런 결과가 나타난 이유는 극좌표계에서 점의 좌표가 유일하게 결정되지 않기 때문이다. [math]\displaystyle{ (r,\theta) }[/math]로 표현되는 점은 [math]\displaystyle{ ((-1)^n r,\theta+n\pi) }[/math]로도 표현된다. 따라서 [math]\displaystyle{ f(r,\theta)=0 }[/math]이 어떤 곡선을 나타내는 방정식이라면 [math]\displaystyle{ f((-1)^n r, \theta+ n\pi)=0 }[/math] 또한 같은 곡선을 나타내는 방정식이다. 즉 원 [math]\displaystyle{ r=2 }[/math]는 [math]\displaystyle{ r=-2 }[/math]로도 나타낼 수 있다. 이 식을 다시 대입하면
- [math]\displaystyle{ -2=4\cos 2\theta }[/math]
이므로
- [math]\displaystyle{ \cos 2\theta=-\frac{1}{2} }[/math]
이고, 이 방정식의 해는
- [math]\displaystyle{ \theta=\frac{1}{3}\pi, -\frac{1}{3}\pi, \frac{2}{3}\pi, -\frac{2}{3}\pi }[/math]
이므로 [math]\displaystyle{ \left(-2,\frac{\pi}{3}\right),\left(-2,\frac{-\pi}{3}\right),\left(-2,\frac{2\pi}{3}\right),\left(-2,-\frac{2\pi}{3}\right) }[/math]은 곡선의 교점임을 알 수 있다. 따라서 두 곡선의 교점은 [math]\displaystyle{ \left(2,\frac{\pi}{6}\right),\left(2,\frac{-\pi}{6}\right),\left(2,\frac{5\pi}{6}\right),\left(2,-\frac{5\pi}{6}\right),\left(2,\frac{\pi}{3}\right),\left(2,\frac{-\pi}{3}\right),\left(2,\frac{2\pi}{3}\right),\left(2,-\frac{2\pi}{3}\right) }[/math]으로 총 8개이다.
일반적으로 두 곡선 [math]\displaystyle{ f(r,\theta)=0, g(r,\theta)=0 }[/math]를 각각 다음과 같은 방법으로 다르게 나타낼 수 있다고 하자.
- [math]\displaystyle{ f_1(r,\theta)=0, f_2(r,\theta)=0, \cdots, f_m(r,\theta)=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ g_1(r,\theta)=0, g_2(r,\theta)=0,\cdots, g_n(r,\theta)=0 }[/math]
이때 연립방정식
- [math]\displaystyle{ \begin{cases} f_i(r,\theta)=0,& 1\le i \le m\\ g_j(r,\theta)=0,& 1\le j \le n \end{cases} }[/math]
을 만족하는 [math]\displaystyle{ (r,\theta) }[/math]가 있으면 그 점이 교점이 된다.
미적분[편집 | 원본 편집]
접선의 기울기[편집 | 원본 편집]
곡선 위의 한 점 [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math]에서 접선의 기울기를 구할 때 다음과 같이 매개화할 수 있다.
- [math]\displaystyle{ x=f(\theta)\cos\theta,\;y=f(\theta)\sin\theta }[/math]
그러면
- [math]\displaystyle{ \frac{dx}{d\theta}=f'(\theta)\cos\theta-f(\theta)\sin\theta }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{dy}{d\theta}=f'(\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\theta }[/math]
이므로 [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math]에서 접선의 기울기는 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{f'(\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\theta}{f'(\theta)\cos\theta-f (\theta)\sin\theta} }[/math]
넓이[편집 | 원본 편집]
구간 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]를 분할하는 점 [math]\displaystyle{ \theta_0(=a)\lt \theta_1\lt \theta_2\lt \cdots\lt \theta_n(=b) }[/math]을 두자. 그러면 [math]\displaystyle{ [x_i, x_{i+1}] }[/math]에 대해 f가 연속함수이므로 최대·최소의 정리에 의해 f의 최댓값과 최솟값이 존재한다. 이 두 값을 각각 [math]\displaystyle{ M_i, m_i }[/math]으로 두자. [math]\displaystyle{ S_i }[/math]를 반직선 [math]\displaystyle{ \theta=x_i,\theta=x_{i+1} }[/math]와 [math]\displaystyle{ r=f(\theta) }[/math]로 둘러싸인 영역의 넓이라고 하면, 부채꼴의 넓이가
- [math]\displaystyle{ S=\frac{1}{2}r^2\theta }[/math]
이므로 다음 부등식
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}m_i^2 (\theta_{i+1}-\theta_i) \le S_i \le \frac{1}{2}M_i^2 (\theta_{i+1}-\theta_i) }[/math]
이 성립하고 중간값 정리에 의해 [math]\displaystyle{ S_i=\frac{1}{2}(f(\theta_i^*))^2(\theta_{i+1}-\theta_i) }[/math]인 [math]\displaystyle{ \theta_i^*\in [\theta_i,\theta_{i+1}] }[/math]가 존재한다. [math]\displaystyle{ \max\{\theta_{i+1}-\theta_i|i=0,1,\cdots,n-1\}\to 0 }[/math]이면
- [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n-1}S_i \to \int_a^b \frac{1}{2} (f(\theta))^2d\theta }[/math]
이다. 따라서 연속함수 [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to \mathbb{R} }[/math]에 대해 곡선 [math]\displaystyle{ r=f(\theta)\; (a\le \theta \le b) }[/math]와 반직선 [math]\displaystyle{ \theta=a,\theta=b }[/math]로 둘러싸인 영역의 넓이는
- [math]\displaystyle{ A=\frac{1}{2}\int_a^b (f(\theta))^2 d\theta }[/math]
이다.
곡선의 길이[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ r=f(\theta) }[/math]을 매개변수방정식으로 나타내면
- [math]\displaystyle{ x=f(\theta)\cos\theta,\; y=f(\theta)\sin\theta }[/math]
이고
- [math]\displaystyle{ \frac{dx}{d\theta}=f'(\theta)\cos\theta-f(\theta)\sin\theta }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{dy}{d\theta}=f'(\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\theta }[/math]
이므로
- [math]\displaystyle{ \left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2=(f(\theta))^2+(f'(\theta))^2 }[/math]
이다. 따라서 곡선 [math]\displaystyle{ r=f(\theta)\; (a \le \theta \le b) }[/math]의 길이는
- [math]\displaystyle{ L=\int_a^b \sqrt{r^2+\left(\frac{df}{d\theta}\right)^2}d\theta }[/math]
이다.
연쇄법칙[편집 | 원본 편집]
연쇄법칙에 따르면 함수 [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial \theta}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta}+\frac{\partial \theta}{\partial y} \frac{\partial f}{\partial y} }[/math]
이다. 이때
- [math]\displaystyle{ \frac{\partial x}{\partial r}=\cos\theta,\; \frac{\partial y}{\partial r}=\sin\theta }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{\partial x}{\partial \theta}=-r\sin\theta,\; \frac{\partial y}{\partial \theta}=r\cos\theta }[/math]
이므로
- [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial r}=\cos\theta \frac{\partial f}{\partial x}+\sin\theta \frac{\partial f}{\partial y} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial \theta}=-r\sin\theta \frac{\partial f}{\partial x}+r\cos\theta \frac{\partial f}{\partial y} }[/math]
를 얻는다. 행렬로 나타내면
- [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial r} \\ \frac{\partial f}{\partial \theta} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta\\ -r\sin\theta & r\cos\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix} }[/math]
정리하면
- [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}=\cos\theta \frac{\partial f}{\partial r}-\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}=\sin\theta \frac{\partial f}{\partial r}+\frac{\cos\theta}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} }[/math]
을 얻는다.
이변수 치환적분[편집 | 원본 편집]
극좌표계를 치환적분법에 이용할 수 있다. 이변수함수 [math]\displaystyle{ F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 }[/math]를 다음과 같이 정의할 수 있다.
- [math]\displaystyle{ F(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta) }[/math]
직교좌표 [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math]와 [math]\displaystyle{ (r,\theta) }[/math]의 관계식이
- [math]\displaystyle{ x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta }[/math]
이므로
- [math]\displaystyle{ F(r,\theta)=(x,y) }[/math]
로 표현하자. 그러면 F의 야코비 행렬은
- [math]\displaystyle{ \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)}=\begin{bmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta & r\cos\theta \end{bmatrix} }[/math]
이므로 야코비 행렬식은 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ \det \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)}=r }[/math]
F에 대한 집합 U의 상(image)을 V라고 하면, 치환적분법에 의해 다음 식이 성립한다.
- [math]\displaystyle{ \iint_V f(x,y)dxdy \iint_U f(r,\theta)rdrd\theta }[/math]
예시: 가우스 적분[편집 | 원본 편집]
치환적분법을 이용해
- [math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2} dx }[/math]
의 값을 구해보자. 원판 [math]\displaystyle{ x^2+y^2 \le a^2\;(a\gt 0) }[/math]를 [math]\displaystyle{ D(a) }[/math]라 하면,
- [math]\displaystyle{ \begin{align} \iint_{D(a)} e^{-x^2-y^2}dV&=\int_0^{2\pi}\int_0^a re^{-r^2}drd\theta\\ &=\int_0^{2\pi} \int_0^{a^2} \frac{1}{2}e^{-t} dtd\theta\\ &=\pi\left(1-e^{-a^2}\right) \end{align} }[/math]
이다. 한편 [math]\displaystyle{ e^{-x^2-y^2} \ge 0 }[/math]이므로
- [math]\displaystyle{ \iint_{D(a)} e^{-x^2-y^2}dxdy \le \int_{-a}^a\int_{-a}^a e^{-x^2-y^2} dxdy \le \iint_{D(\sqrt{2}a)} e^{-x^2-y^2}dxdy }[/math]
이고 푸비니 정리에 의해
- [math]\displaystyle{ \int_{-a}^a\int_{-a}^a e^{-x^2-y^2} dxdy=\left(\int_{-a}^a e^{-x^2} dx \right)^2 }[/math]
이므로
- [math]\displaystyle{ \pi\left(1-e^{-a^2}\right) \le \left(\int_{-a}^a e^{-x^2} dx \right)^2 \le \pi\left(1-e^{-2a^2}\right) }[/math]
이다. [math]\displaystyle{ a\to \infty }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ e^{-a^2}, e^{-2a^2}\to 0 }[/math]이므로
- [math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2} dx=\sqrt{\pi} }[/math]
이다.[3]
벡터 미적분학[편집 | 원본 편집]
극좌표계에서 직교하는 단위벡터를 다음과 같이 설정할 수 있다.[4]
- [math]\displaystyle{ \hat{\mathbf{r}}=\begin{bmatrix} \cos\theta\\ \sin\theta \end{bmatrix} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \hat{\boldsymbol{\theta}}=\begin{bmatrix} -\sin\theta\\ \cos\theta \end{bmatrix} }[/math]
이들을 시간 t에 대해 미분하면
- [math]\displaystyle{ \mathbf{\dot{\hat{r}}}=\begin{bmatrix} -\dot{\theta}\sin\theta\\ \dot{\theta}\cos\theta \end{bmatrix}=\dot{\theta}\boldsymbol{\hat{\theta}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\dot{\hat{\theta}}}=\begin{bmatrix} -\dot{\theta}\cos\theta\\ -\dot{\theta}\sin\theta \end{bmatrix}=-\dot{\theta}\mathbf{\hat{r}} }[/math]
임을 안다. 따라서 위치벡터
- [math]\displaystyle{ \mathbf{r}=r\hat{\mathbf{r}} }[/math]
의 도함수, 이계도함수는 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ \mathbf{\dot{r}}=\dot{r}\mathbf{\hat{r}}+r\dot{\theta}\boldsymbol{\hat{\theta}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathbf{\ddot{r}}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\mathbf{\hat{r}}+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\boldsymbol{\hat{\theta}} }[/math]
예시: 케플러의 제2법칙[편집 | 원본 편집]
어떤 물체가 중심력 [math]\displaystyle{ \mathbf{F}=f(r)\mathbf{r} }[/math]을 받고 운동한다고 가정하자. 그러면 뉴턴의 제2 운동법칙에 의해
- [math]\displaystyle{ \mathbf{F}=m\mathbf{\ddot{r}} }[/math]
이므로, 중심력 식을 극좌표 성분으로 나타내면
- [math]\displaystyle{ m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\mathbf{\hat{r}}+m(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\boldsymbol{\hat{\theta}}=f(r)r\hat{\mathbf{r}} }[/math]
이다. 따라서
- [math]\displaystyle{ 2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}=0 }[/math]
을 얻는다. 한편
- [math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}r^2\dot{\theta} \right)=2r\dot{r}\dot{\theta}+\frac{1}{2}r^2\ddot{\theta}=\frac{1}{2}r(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}) }[/math]
이므로 얻은 식을
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{r}\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}r^2\dot{\theta} \right)=0 }[/math]
으로 다시 나타낼 수 있다. 즉
- [math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}r^2\dot{\theta} \right)=0 }[/math]
이다. 따라서 [math]\displaystyle{ t=t_0 }[/math]부터 [math]\displaystyle{ t=t_1 }[/math]까지 물체와 중심력의 원점이 이루는 선분이 쓸고 지나간 넓이는
- [math]\displaystyle{ \int_{\theta(t_0)}^{\theta(t_1)}\frac{1}{2} r^2 d\theta=\int_{t_0}^{t_1} \frac{1}{2}r^2\dot{\theta}dt = c(t_1-t_0) }[/math]
이다. 이때 c는 상수이다.[5]
3차원 좌표계[편집 | 원본 편집]
널리 알려진 3차원 좌표계인 원기둥좌표계와 구면좌표계에 대해 간략히 소개한다.
원기둥좌표계[편집 | 원본 편집]
직교좌표로 [math]\displaystyle{ (x,y,z) }[/math], 원기둥좌표로 [math]\displaystyle{ (r,\theta,z) }[/math]로 나타나는 점의 관계식은
- [math]\displaystyle{ x=r\cos\theta }[/math]
- [math]\displaystyle{ y=r\sin\theta }[/math]
- [math]\displaystyle{ z=z }[/math]
이다.
구면좌표계[편집 | 원본 편집]
직교좌표로 [math]\displaystyle{ (x,y,z) }[/math], 구면좌표로 [math]\displaystyle{ (\rho,\phi,\theta) }[/math]로 나타나는 점의 관계식
- [math]\displaystyle{ x=\rho\sin\phi\cos\theta }[/math]
- [math]\displaystyle{ y=\rho\cos\phi\sin\theta }[/math]
- [math]\displaystyle{ z=\rho\cos\phi }[/math]
이다.
같이 보기[편집 | 원본 편집]
외부 링크[편집 | 원본 편집]
각주
- ↑ 권오남 외 3명 (2011), 《고급 수학 기본》. (주) 서울교과서. p. 113.
- ↑ Temple H. Fay. The American Mathematical Monthly. Vol. 96, No. 5 (May, 1989), pp. 442-443. DOI: 10.2307/2325155
- ↑ 김홍종 (2009), 《미적분학2》. 서울대학교출판문화원. pp.632-633.
- ↑ Stover, Christopher and Weisstein, Eric W. "Polar Coordinates." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
- ↑ 김홍종 (2009), 《미적분학2》. 서울대학교출판문화원. pp.551-553.