그레이엄 수

그레이엄 수(Graham's number)는 미국의 수학자 로널드 루이스 그레이엄(Ronald Lewis Graham)이 고안한 수이다.

역사

그레이엄은 램지 이론(Ramsey theory)의 특정 조건을 만족시키는 최솟값으로 그레이엄 수를 제시했다. 특정 조건은 다음과 같다.

2차원 평방체인 정사각형에는 2^2 = 4개의 꼭짓점이, 3차원 입방체인 정육면체에는 2^3 = 8개의 꼭짓점이 있다. 이를 일반화하면 도형의 차원을 n차원으로 높인 초입방체에는 2^n개의 꼭짓점이 있다. 이제 이 꼭짓점들을 전부 선분으로 연결하고(선분에는 모서리와 대각선이 해당한다), 각 선분마다 두 가지 색 중 하나를 골라 모두 칠한다. 그리고 그 초입방체의 한 평면에 있는 4개의 점을 생각하자. 네 점은 ⊠ 모양으로 연결되어 있다. 만약 정육면체에서라면, 색을 어떻게 칠하느냐에 따라 ⊠ 모양이 같은 색으로만 칠해져있는 경우가 하나도 없게 만들 수 있다. 이것은 4차원, 5차원 등의 초입방체에서도 가능하다. 그러나 차원수 n이 어떤 수 이상이면, 어떠한 방식으로 색을 칠해도 같은 색으로만 칠해진 ⊠ 모양이 반드시 존재한다. 여기서 n의 값이 바로 그레이엄 수이다.

그레이엄은 자신이 고안한 특정한 수가 n값에 해당한다는 것을 1977년에 증명했다. 그 값은 너무나 크기 때문에 일반적인 수학 기호로는 표현할 수 없어, 아래의 크기 표현 문단에 나타난 방식으로 표현된다. 그 이후 많은 수학자들이 더 작은 n값이 존재하는지를 찾고 있다.

크기 표현

커누스 윗화살표 표기법을 사용해야 한다.

먼저 거의 모든 사람들이 아는 숫자 '3' 부터 시작하자.

3

우리에게 친숙한 덧셈이다.

3+3+3= 3*3 이다.

덧셈을 했으니 이제는 곱셈이다.

3*3*3= 3^3 이다.

거듭제곱이 나왔으니 이제 거듭제곱을 거듭한 연산을 나타내는 크누스 윗화살표를 사용해 보자.

↑(커누스 윗화살표)

3^3^3=3^27=3↑↑3

3↑↑3= 7625597484987 즉, 약 7조 6천억 정도 이다.

그렇다면 3↑↑↑3은 7625597484987개의 3이 지수형태로 쌓여 있다는 것이다. 그냥 엄청나게 큰 숫자라고 이해하자.

3↑↑↑↑3도 엄청나게 큰 숫자다. 3↑↑↑↑3는 G(1)이라고 표기한다.

G(2)는 3↑↑.....↑↑3 라고 할 때 화살표 개수가 G(1)개다.

G(3)는 3↑↑.....↑↑3 라고 할 때 화살표 개수가 G(2)개다.

G(4)는 3↑↑.....↑↑3 라고 할 때 화살표 개수가 G(3)개다.

즉, G(n+1)을 3↑↑.....↑↑3로 나타낼 때 화살표 개수는 G(n)개이다.

이를 계속 해서 해서 G(64)에 왔다고 치자. 이는 화살표 G(63)개다.

G(64)가 그레이엄 수다. 엄청난 숫자이다. 이게 왜 엄청난 숫자인지 실감이 안 되면 이해가 잘 되지 않은 것이라고 할 수 있다.

의미

그레이엄 수는 수학적인 의미를 갖는 가장 큰 수이다. 누구나 설정놀음을 통해 얼마든지 큰 수를 창조해낼 수 있으나, 그레이엄 수는 특정한 수학 이론에 실제로 쓰이는 값이므로 그 의미가 있는 것이다.