고유값과 고유벡터

정의

체 F 위의 벡터공간 V가 주어지고 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}\in V }[/math]를 영이 아닌 임의의 벡터라고 하자. 선형연산자 [math]\displaystyle{ L:V\to V }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ L(\mathbf{v})=\lambda \mathbf{v} }[/math]

인 스칼라 λ가 존재하면 [math]\displaystyle{ \mathbf{v} }[/math]를 L의 고유벡터(Eigenvector)라고 하고, λ를 고유값(Eigenvalue)이라고 한다.

선형연산자 L을 나타내는 행렬을 A라고 하자. 그러면 방정식은

[math]\displaystyle{ A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v} }[/math]

가 된다. 즉,

[math]\displaystyle{ (A-\lambda I)\mathbf{v}=O }[/math]

이고 이 방정식이 영이 아닌 근을 가지므로

[math]\displaystyle{ \det(A-\lambda I)=0 }[/math]

이다.

x를 체 F의 원소라고 하자. [math]\displaystyle{ A-xI }[/math]를 A의 특성행렬(characteristic matrix), [math]\displaystyle{ \det(A-xI) }[/math]를 A의 특성다항식(characteristic polynomial), 방정식 [math]\displaystyle{ \det(A-xI)=0 }[/math]을 A의 특성방정식(characteristic equation)이라고 한다. 특성방정식의 근의 집합은 A의 스펙트럼(spectrum)이라 한다.

고유값의 존재성

선형연산자 [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2 }[/math]가 다음과 같이 정의되었다고 하자.

[math]\displaystyle{ T(x,y)=(x-y,x+y) }[/math]

이때 [math]\displaystyle{ T }[/math]의 고윳값이 존재한다고 가정하고 [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]로 쓰자. 그러면

[math]\displaystyle{ (x-y,x+y)=(\lambda x,\lambda y) }[/math]

이고 따라서 [math]\displaystyle{ (1-\lambda)x=y,(1-\lambda)y=-x }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \lambda=1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ x=y=0 }[/math]이 되므로 불가능하다. 따라서 [math]\displaystyle{ \lambda\ne 1 }[/math]이다. 그러면

[math]\displaystyle{ x= -(1-\lambda)y=-(1-\lambda)^2 x }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ (1+(1-\lambda)^2)x=0 }[/math]

이다. 따라서 [math]\displaystyle{ T }[/math]의 고유값은 존재하지 않는다. 그러나 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]을 [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]로 바꾸면 [math]\displaystyle{ T }[/math]의 고유값은 [math]\displaystyle{ \lambda_1=1+i }[/math], [math]\displaystyle{ \lambda_2=1-i }[/math]임을 알 수 있다.

일반적으로 선형연산자 [math]\displaystyle{ T:\mathbb{C}^n\to \mathbb{C}^n }[/math]의 고유값은 존재한다. [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math]를 영이 아닌 임의의 벡터라고 하자. 집합 [math]\displaystyle{ S }[/math]를

[math]\displaystyle{ S=\{\mathbf{x},T\mathbf{x},T^2\mathbf{x},\cdots,T^n\mathbf{x}\} }[/math]

로 정의하면 [math]\displaystyle{ S }[/math]의 원소의 수는 [math]\displaystyle{ n+1 }[/math]개이므로 [math]\displaystyle{ S }[/math]는 일차종속이다. 따라서

[math]\displaystyle{ a_0 \mathbf{x}+a_1 T\mathbf{x}+ a_2 T^2\mathbf{x}+\cdots + a_n T^n \mathbf{x}=\mathbf{0} }[/math]

를 만족하는 [math]\displaystyle{ a_0,a_1,\cdots, a_n \in \mathbb{C} }[/math]가 존재한다. 이때 [math]\displaystyle{ a_1,a_2,\cdots,a_n }[/math] 중 하나는 반드시 영이 아닌데, [math]\displaystyle{ a_1,a_2,\cdots,a_n }[/math]이 모두 영이라면 [math]\displaystyle{ a_0 \mathbf{x}=0 }[/math]이 되어 모순이기 때문이다. [math]\displaystyle{ a_i\ne 0 }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ i\in \{0,1,\cdots, n\} }[/math] 중 가장 큰 값을 [math]\displaystyle{ m }[/math]이라 하자. 다항식 [math]\displaystyle{ p(x) }[/math]를

[math]\displaystyle{ p(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2 +\cdots + a_m x^m }[/math]

으로 정의하면, 대수학의 기본 정리에 의해 [math]\displaystyle{ p(x)=c(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\cdots (x-\lambda_m) }[/math]인 [math]\displaystyle{ c,\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m\in \mathbb{C} }[/math]가 존재한다. 따라서

[math]\displaystyle{ \begin{align} \mathbf{0}&=a_0 \mathbf{x}+a_1 T\mathbf{x}+ a_2 T^2\mathbf{x}+\cdots + a_n T^n \mathbf{x}\\ &=(a_0 + a_1 T +a_2 T^2 +\cdots + a_n T^n )\mathbf{x}\\ &=c(T-\lambda_1 I)(T-\lambda_2 I)\cdots (T-\lambda_m I)\mathbf{x} \end{align} }[/math]

이고, 따라서 [math]\displaystyle{ T-\lambda_i I }[/math] 중 하나는 일대일 함수가 아니다. 따라서 [math]\displaystyle{ T }[/math]는 고유값을 가진다.

더욱이, 대수적으로 닫힌 체 [math]\displaystyle{ F }[/math] 위에서 정의된 임의의 자기준동형사상 [math]\displaystyle{ T:F^n \to F^n }[/math]의 고유값은 존재한다.

예시

선형연산자 L을 나타내는 행렬 A가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

[math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 8 & 5 & 6 & 0\\ 0 & -2 & 0 & 0\\ -10 & -5 & -8 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} }[/math]

그러면 A의 특성다항식은

[math]\displaystyle{ \det(A-xI)=\begin{vmatrix} 8-x & 5 & 6 & 0\\ 0 & -2-x & 0 & 0\\ -10 & -5 & -8-x & 0\\ 2 & 1 & 1 & 2-x \end{vmatrix}=x^4-8x^2+16 }[/math]

이므로 특성방정식 [math]\displaystyle{ \det(A-xI)=0 }[/math]를 만족하는 x는 [math]\displaystyle{ x=\pm 2 }[/math]이다. 따라서 A의 고유값은 2와 -2이다. 한편

[math]\displaystyle{ A-2I=\begin{bmatrix} 6 & 5 & 6 & 0\\ 0 & -4 & 0 & 0\\ -10 & -5 & -10 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ A+2I=\begin{bmatrix} 10 & 5 & 6 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ -10 & -5 & -6 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 4 \end{bmatrix} }[/math]

이고 [math]\displaystyle{ A-2I,A+2I }[/math]는 기본행연산(elementary row operation)을 거쳐 기약행사다리꼴(reduced row echelon form)로 만들면 각각

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix},\;\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 12\\ 0 & 0 & 1 & -20\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} }[/math]

이 되므로 각 방정식의 해, 즉 고유벡터는 [math]\displaystyle{ (A-2I)\mathbf{x}=\mathbf{0} }[/math]의 경우

[math]\displaystyle{ \mathbf{x}=c\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} }[/math]

이고 [math]\displaystyle{ (A+2I)\mathbf{x}=\mathbf{0} }[/math]의 경우

[math]\displaystyle{ \mathbf{x}=\begin{bmatrix} -\frac{1}{2}a-12b\\ a\\ 20b\\ b \end{bmatrix}=a\begin{bmatrix}-\frac{1}{2} \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}-12\\ 0 \\ 20 \\ 1\end{bmatrix} }[/math]

이다. 이때 고유벡터의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ abc\ne 0 }[/math]이다.

고유공간

체 F 위의 벡터공간 V에서 정의된 선형연산자 L의 고윳값 λ가 주어졌을 때, 모든 고유벡터와 영벡터의 집합 [math]\displaystyle{ \mathbf{V}_\lambda }[/math]는 벡터공간을 이룬다. 왜냐 하면 임의의 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\in\mathbf{V}_\lambda }[/math]와 [math]\displaystyle{ c\in F }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ L(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=L(\mathbf{v}_1)+L(\mathbf{v}_2)=\lambda\mathbf{v}_1+\lambda\mathbf{v}_2=\lambda(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2) }[/math]

[math]\displaystyle{ L(c\mathbf{v}_1)=cL(\mathbf{v}_1)=c\lambda \mathbf{v}_1=\lambda(c\mathbf{v}_1) }[/math]

이므로 V의 부분공간(subspace)이기 때문이다. 이 벡터공간을 고윳값 λ이 연관된 L의 고유공간(eigenspace)이라고 한다. [math]\displaystyle{ \mathbf{V}_\lambda }[/math]의 차원(dimension)은 λ의 기하중복도(geometric multiplicity)라고 한다.

[math]\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r }[/math]가 선형연산자 L의 서로 다른 고유값이고, [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_r }[/math]가 [math]\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r }[/math]와 연관된 고유벡터라고 하자. 이때 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_r }[/math]는 선형독립이다.

[math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1\ne \mathbf{0} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \{\mathbf{v}_1\} }[/math]은 선형독립인 집합이다. 이제 [math]\displaystyle{ 1\le k\le r }[/math]인 정수 k에 대해 [math]\displaystyle{ \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_k\} }[/math]가 선형독립이라고 가정하자. 만약 [math]\displaystyle{ k=r }[/math]이면 증명이 끝나므로 [math]\displaystyle{ k\lt r }[/math]라고 가정하자. 방정식

[math]\displaystyle{ c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}=\mathbf{0} }[/math]

에서 L에 의한 연산을 거치면

[math]\displaystyle{ c_1\lambda_1\mathbf{v}_1+c_2\lambda_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_{k+1}\lambda_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}=\mathbf{0} }[/math]

이고 처음 식에 [math]\displaystyle{ \lambda_{k+1} }[/math]을 곱하면

[math]\displaystyle{ c_1\lambda_{k+1}\mathbf{v}_1+c_2\lambda_{k+1}\mathbf{v}_2+\cdots+c_{k+1}\lambda_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}=\mathbf{0} }[/math]

이다. 그러면

[math]\displaystyle{ c_1(\lambda_1-\lambda_{k+1})\mathbf{v}_1+c_2(\lambda_2-\lambda_{k+1})\mathbf{v}_2+\cdots+c_k(\lambda_k-\lambda_{k+1})\mathbf{v}_k=0 }[/math]

이고 (귀납법) 가정에 의해 각 고유값이 다르고 [math]\displaystyle{ \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_k\} }[/math]이 선형독립이므로

[math]\displaystyle{ c_1=c_2=\cdots=c_k=0 }[/math]

이다. 따라서

[math]\displaystyle{ c_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}=\mathbf{0} }[/math]

이고 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_{k+1}\ne\mathbf{0} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ c_{k+1}=0 }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_{k+1}\} }[/math]은 선형독립이다. 결국 수학적 귀납법에 의해 원하는 결론을 얻는다.

대각화

이와 관련한 내용은 대각화에서 볼 수 있습니다.

어떤 [math]\displaystyle{ n }[/math]차 정사각행렬 [math]\displaystyle{ A }[/math]가 대각화 가능할 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 선형독립인 고유벡터가 [math]\displaystyle{ n }[/math]개 존재하는 것이다.