개요[편집 | 원본 편집]
한국의 수학 교육과정 중, 삼각형의 닮음을 배운 뒤 배우게 되는 평면기하학의 정리 중 하나. 삼각형의 한 내각, 혹은 외각을 이등분했을 때, 변의 길이의 비를 나타낸 것이 정리의 골자이다. 학교에선 내각의 이등분선 정리와 외각의 이등분선 정리, 이렇게두 개를 배우며, 수학 경시대회를 준비한다면 내각의 이등분선 + 외접원에 관한 정리를 하나 더 배운다.
내각의 이등분선 정리[편집 | 원본 편집]
“ 각 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 이등분선이 변 [math]\displaystyle{ \overline{BC} }[/math]와 만나는 점을 [math]\displaystyle{ D }[/math]라 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ \overline{AB}:\overline{AC}=\overline{BD}:\overline{CD} }[/math]가 성립한다. “
증명[편집 | 원본 편집]
점 [math]\displaystyle{ C }[/math]를 지나고 [math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math]에 평행한 직선과 [math]\displaystyle{ \overline{AD} }[/math]의 연장선이 만나는 점을 [math]\displaystyle{ E }[/math]라 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ \angle{ADB}=\angle{EDC} }[/math](맞꼭지각), [math]\displaystyle{ \angle{BAD}=\angle{CED} }[/math](엇각)이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \triangle{ABD}\sim\triangle{ECD} }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \overline{AB}:\overline{EC}=\overline{BD}:\overline{CD} }[/math]가 성립한다. 한편, [math]\displaystyle{ \angle{EAC}=\angle{AEC} }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \triangle{AEC} }[/math]는 이등변삼각형이고, 따라서 [math]\displaystyle{ \overline{AC}=\overline{EC} }[/math]가 성립한다. 이를 비례식에 넣으면, [math]\displaystyle{ \overline{AB}:\overline{AC}=\overline{BD}:\overline{CD} }[/math].
외각의 이등분선 정리[편집 | 원본 편집]
“ 각 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 외각의 이등분선과 변 [math]\displaystyle{ \overline{BC} }[/math]의 연장선이 만나는 점을 [math]\displaystyle{ D }[/math]라 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ \overline{AB}:\overline{AC}=\overline{BD}:\overline{CD} }[/math]가 성립한다. “
증명[편집 | 원본 편집]
점 [math]\displaystyle{ C }[/math]를 지나고 [math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math]에 평행한 직선과 [math]\displaystyle{ \overline{AD} }[/math]가 만나는 점을 [math]\displaystyle{ E }[/math]라 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ \angle{ABD}=\angle{ECD} }[/math](동위각), [math]\displaystyle{ \angle{D} }[/math] 공통이므로 [math]\displaystyle{ \triangle{ABD}\sim\triangle{ECD} }[/math](AA 닮음)이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \overline{AB}:\overline{EC}=\overline{BD}:\overline{CD} }[/math]가 성립한다. 한편, [math]\displaystyle{ \angle{AEC}=\angle{A} }[/math]의 외각의 절반이므로 (엇각), [math]\displaystyle{ \triangle{ACE} }[/math]는 이등변삼각형이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \overline{AC}=\overline{EC} }[/math]. 이를 비례식에 넣으면, [math]\displaystyle{ \overline{AB}:\overline{AC}=\overline{BD}:\overline{CD} }[/math].
우산 정리[편집 | 원본 편집]
“ 각 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 이등분선이 변 [math]\displaystyle{ \overline{BC} }[/math]와 만나는 점을 [math]\displaystyle{ D }[/math], [math]\displaystyle{ \triangle{ABC} }[/math]의 외접원과 만나는 점을 [math]\displaystyle{ E }[/math]라 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ \overline{AB}\cdot\overline{AC}=\overline{AD}\cdot\overline{AE} }[/math]가 성립한다. “
정확하게는 우산 정리의 세 가지 경우 중 하나. 자세한 내용은 우산 정리 항목을 참조하자.
2019학년도 수학능력시험 수학영역 가형 19번 문제에서 이용되었다.