역행렬

역행렬(inverse (matrix))이란 행렬의 곱에 대한 역원으로, 이것이 존재할 때 그 행렬을 가역행렬(invertible matrix) 또는 정칙행렬(nonsingular)이라 하고, A의 역행렬은 A^-1으로 나타낸다.

가역과 동치인 명제

정방행렬 [math]\displaystyle{ A \in \mathfrak M_{n\times n}(F) }[/math]에 대하여, 다음 조건들은 모두 동치이다.

• [math]\displaystyle{ A }[/math]는 가역(정칙)이다.
• [math]\displaystyle{ A }[/math]는 좌-역행렬을 갖는다. 즉 [math]\displaystyle{ \exists B \in \mathfrak M_{n\times n} [BA = I] }[/math]이다.
• [math]\displaystyle{ A }[/math]는 우-역행렬을 갖는다. 즉 [math]\displaystyle{ \exists B \in \mathfrak M_{n\times n} [AB = I] }[/math]이다.
• 선형사상 [math]\displaystyle{ L_A:F^n \longrightarrow F^n , \; \; L_A (X) = AX }[/math]은 isomorphism이다.
• 선형사상 [math]\displaystyle{ L_A:F^n \longrightarrow F^n , \; \; L_A (X) = AX }[/math]은 monomorphism이다.
• 선형사상 [math]\displaystyle{ L_A:F^n \longrightarrow F^n , \; \; L_A (X) = AX }[/math]은 epimorphism이다.
• [math]\displaystyle{ A }[/math]의 열들은 [math]\displaystyle{ F^n }[/math]의 기저가 된다.
• [math]\displaystyle{ A }[/math]의 열들은 일차독립이다.
• [math]\displaystyle{ A }[/math]의 열들은 [math]\displaystyle{ F^n }[/math]을 생성한다.
• [math]\displaystyle{ A }[/math]의 (열)계수(rank)가 [math]\displaystyle{ n }[/math]이다.
• [math]\displaystyle{ AX=B }[/math]가 유일한 해를 가진다.
• [math]\displaystyle{ AX=\mathbf 0 }[/math]가 자명한 해 [math]\displaystyle{ X=\mathbf 0 }[/math]만을 가진다.
• 위의 [math]\displaystyle{ A }[/math] 대신 그 전치를 넣어도 된다. 특히 열에 관한 명제들은 행에 관한 것들로 바뀐다.

공식

역행렬은 다음과 같이 구한다:

[math]\displaystyle{ A^{-1} = \frac{1}{\det A} \operatorname{adj}A }[/math]

여기서 adj A는 A의 수반행렬, det A는 A의 행렬식을 말한다.

이는 (가역일 필요는 없는) 정방행렬 [math]\displaystyle{ A }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ A \cdot \operatorname{adj}A = I }[/math]가 성립함을 알면 쉽게 이끌어낼 수 있다.

이차 정사각행렬

[math]\displaystyle{ \displaystyle A_{2\times 2}^{-1}=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{adj} A=\frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix}d & -b\\ -c & a\end{bmatrix} }[/math]

삼차 정사각행렬

[math]\displaystyle{ \displaystyle A_{3\times 3}^{-1}=\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g& h & i\end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det A} \operatorname{adj}A = \frac{1}{aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg}\begin{bmatrix} ei-fh & ch-bi & bf-ce \\ fg-di & ai-cg & cd-af \\ dh-eg& bg-ah & ae-bd\end{bmatrix} }[/math]

n차 정사각행렬에 대한 역행렬 구하기

첨가 행렬을 이용한 방법

첨가행렬 (Augmented Matrix)

행렬에 다른 행렬을 첨가한 형태의 행렬이다.

[math]\displaystyle{ A^{-1} = \begin{bmatrix} x_{11} \quad x_{12} \quad x_{13} \quad x_{14} \\ x_{21} \quad x_{22} \quad x_{23} \quad x_{24} \\ x_{31} \quad x_{32} \quad x_{33} \quad x_{34} \\ x_{41} \quad x_{42} \quad x_{43} \quad x_{44} \end{bmatrix}^{-1} }[/math] 을 구하기 위해서 [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} x_{11} \quad x_{12} \quad x_{13} \quad x_{14} \\ x_{21} \quad x_{22} \quad x_{23} \quad x_{24} \\ x_{31} \quad x_{32} \quad x_{33} \quad x_{34} \\ x_{41} \quad x_{42} \quad x_{43} \quad x_{44} \end{bmatrix} }[/math] 를 A행렬이라고 하자, 그리고 4x4 단위행렬을 [math]\displaystyle{ I }[/math] 라 하면 [math]\displaystyle{ [ A \quad I ] = \begin{bmatrix} x_{11} \quad x_{12} \quad x_{13} \quad x_{14} \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad 0 \\ x_{21} \quad x_{22} \quad x_{23} \quad x_{24} \quad 0 \quad 1 \quad 0 \quad 0\\ x_{31} \quad x_{32} \quad x_{33} \quad x_{34} \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad 0 \\ x_{41} \quad x_{42} \quad x_{43} \quad x_{44} \quad 0 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \end{bmatrix} }[/math] 로 표현이 가능하다.

이 행렬에 row exchange 및 row operation 을 통해서 [math]\displaystyle{ [ I \quad A^{-1}] }[/math] 형태로 바꿀수 있으면 역행렬이 존재, 바꿀수 없으면 역행렬은 없음.

예시

[math]\displaystyle{ A= \begin{bmatrix} 1 \quad 2 \quad 1 \quad 0 \\1 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \\ 2 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \\ 1 \quad 1 \quad 2 \quad 1 \end{bmatrix} }[/math]의 역행렬을 구한다고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ [ A \quad I ] = \begin{bmatrix} 1 \quad 2 \quad 1 \quad 0 \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad 0 \\1 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad 0 \quad 1 \quad 0 \quad 0\\ 2 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad 0 \\ 1 \quad 1 \quad 2 \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \end{bmatrix} }[/math] 로 표현가능하다. 여기서 한 행을 상수배해서 다른 행과 적절히 덧셈 뺄셈 연산을 하면 된다.

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 \quad 2 \quad 1 \quad 0 \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad 0 \\1 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad 0 \quad 1 \quad 0 \quad 0 \\ 2 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad 0 \\ 1 \quad 1 \quad 2 \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \end{bmatrix} \sim }[/math][math]\displaystyle{ \left [ \begin{array} {cccccccc} 1 \quad & 2 \quad & 1 \quad & 0 \quad & 1 \quad & 0 \quad & 0 \quad & 0 \\ 0 \quad & -2 \quad & -1 \quad & 1 \quad & -1 \quad & 1 \quad & 0 \quad & 0 \\ 0 \quad & -4 \quad & -1 \quad & 2 \quad & -2 \quad & 0 \quad & 1 \quad & 0 \\ 1 \quad & 0 \quad & -1 \quad & 1 \quad & -1 \quad & 0 \quad & 0 \quad & 1 \end{array} \right] \sim }[/math]

[math]\displaystyle{ \left [ \begin{array} {cccccccc} 1 \quad & 0 \quad & 0 \quad & 1 \quad & 0 \quad & 1 \quad & 0 \quad & 0 \\ 0 \quad & -2 \quad & -1 \quad & 1 \quad & -1 \quad & 1 \quad & 0 \quad & 0 \\ 0 \quad & 0 \quad & 1 \quad & 0 \quad & 0 \quad & -2 \quad & 1 \quad & 0 \\ 0 \quad & -1 \quad & 1 \quad & 1 \quad & -1 \quad & 0 \quad & 0 \quad & 1 \end{array} \right] \sim }[/math]

[math]\displaystyle{ \left [ \begin{array} {cccccccc} 1 \quad & 0 \quad & 0 \quad & 1 \quad & 0 \quad & 1 \quad & 0 \quad & 0 \\ 0 \quad & 0 \quad & -3 \quad & -1 \quad & 1 \quad & 1 \quad & 0 \quad & -2 \\ 0 \quad & 0 \quad & 1 \quad & 0 \quad & 0 \quad & -2 \quad & 1 \quad & 0 \\ 0 \quad & -1 \quad & 1 \quad & 1 \quad & -1 \quad & 0 \quad & 0 \quad & 1 \end{array} \right] \sim }[/math]

[math]\displaystyle{ \left [ \begin{array} {cccccccc} 1 \quad & 0 \quad & 0 \quad & 1 \quad & 0 \quad & 1 \quad & 0 \quad & 0 \\ 0 \quad & 0 \quad & 0 \quad & -1 \quad & 1 \quad & -5 \quad & 3 \quad & -2 \\ 0 \quad & 0 \quad & 1 \quad & 0 \quad & 0 \quad & -2 \quad & 1 \quad & 0 \\ 0 \quad & -1 \quad & 1 \quad & 1 \quad & -1 \quad & 0 \quad & 0 \quad & 1 \end{array} \right] \sim }[/math]

[math]\displaystyle{ \left [ \begin{array} {cccccccc} 1 \quad & 0 \quad & 0 \quad & 0 \quad & 1 \quad & -4 \quad & 3 \quad & -2 \\ 0 \quad & 0 \quad & 0 \quad & 1 \quad & -1 \quad & 5 \quad & -3 \quad & 2 \\ 0 \quad & 0 \quad & 1 \quad & 0 \quad & 0 \quad & -2 \quad & 1 \quad & 0 \\ 0 \quad & 1 \quad & 0 \quad & 0 \quad & 0 \quad & 3 \quad & -2 \quad & 1 \end{array} \right] \sim }[/math]

[math]\displaystyle{ \left [ \begin{array} {cccccccc} 1 \quad & 0 \quad & 0 \quad & 0 \quad & 1 \quad & -4 \quad & 3 \quad & -2 \\ 0 \quad & 1 \quad & 0 \quad & 0 \quad & 0 \quad & 3 \quad & -2 \quad & 1 \\ 0 \quad & 0 \quad & 1 \quad & 0 \quad & 0 \quad & -2 \quad & 1 \quad & 0 \\ 0 \quad & 0 \quad & 0 \quad & 1 \quad & -1 \quad & 5 \quad & -3 \quad & 2 \end{array} \right] }[/math]

위 행렬은 [math]\displaystyle{ [ I \quad A^{-1}] }[/math] 형태 이므로 A의 역행렬 [math]\displaystyle{ A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 & -2 \\ 0 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \\ -1 & 5 & -3 & 2 \end{bmatrix} }[/math] 이다.