가속도

개요

가속도는 시간에 따라 속도가 변하는 정도를 나타내는 양이다.

SI단위로는 주로 m/s²을 사용한다.

정의

시간 t_i에서 처음속도가 v_xi이고 시간 t_j에서 나중속도가 v_xf인 x축을 따라 움직이는 입자로 모형화해서 생각해보자. 입자의 평균 가속도는 속도변화 Δv_x 를 변화가 일어나는 동안의 시간 간격 Δ_t로 나눈 값으로 정의된다.

[math]\displaystyle{ {a}_{x,avg} \equiv \frac{\Delta {v}_{x}}{\Delta t} = \frac{{v}_{xf} - {v}_{xi}}{{t}_{f} - {t}_{i}} }[/math]

일차원 운동에서는 속도처럼 가속도의 방향을 양(+)과 음(-)의 부호를 사용하여 나타낼 수 있다.

어떤 경우에 시간 간격에 따라 평균 가속도의 값이 달라질 수 있다. 그래서 Δt가 영으로 접근할때 평균가속도의 극한인 순간 가속도를 정의하는 것이 유용하다. Δt가 영에 접근할 때 Δv_x/Δt의 극한이 존재하면 순간가속도는

[math]\displaystyle{ {a}_{x} \equiv \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta {v}_{x}}{\Delta t} = \frac{d{v}_{x}}{dt} }[/math]

가 된다.

직선 운동의 경우 물체의 속도 방향과 가속도의 방향이 다음과 같이 연관되어 있다. 물체의 속도와 가속도가 같은 방향일 때 물체의 속력은 증가한다. 반면에 물체의 속도와 가속도가 서로 반대 방향일 때 물체의 속력은 감소한다.

속도와 가속도의 부호에 대한 이러한 생각은 물체의 가속도와 물체에 작용하는 힘을 연관시키는 데 도움이 된다. 즉

[math]\displaystyle{ {F}_{x} \propto {a}_{x} }[/math]

이다. 이 비례식은 가속도가 힘에 의해 유도됨을 나타낸다.

여기서부터 순간 가속도를 나타내는 용어로 가속도 라는 표현을 사용한다. v_x=dx/dt 이기 때문에 가속도는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[math]\displaystyle{ {a}_{x} = \frac{d{v}_{x}}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{dt} \right) = \frac{{d}^{2} x}{d{t}^{2}} }[/math]

등가속도 운동하는 입자의 분석

식 [math]\displaystyle{ {a}_{x,avg} \equiv \frac{\Delta {v}_{x}}{\Delta t} = \frac{{v}_{xf} - {v}_{xi}}{{t}_{f} - {t}_{i}} }[/math] 에서 a_x,avg를 a_x로 치환하고 t_i = 0 과 t_f = t 로 두면 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ {a}_{x} = \frac{{v}_{xf} - {v}_{xi}}{t - 0} }[/math]

또는

[math]\displaystyle{ {v}_{xf} = {v}_{xi} + {a}_{x}t }[/math] (ax는 일정) (식 A)

이다. 물체의 처음속도 v_xi와 일정한 가속도 a_x를 알면 어떤시간 t 에서 물체의 속도를 구할 수 있다.

등가속도 운동에서 속도는 식 A에 의하여 시간에 따라 선형으로 변하기 때문에 어떤 시간 간격 동안의 평균 속도는 처음 속도 v_xi와 나중속도 v_xf의 산술 평균으로 표현될 수 있다.

[math]\displaystyle{ {v}_{x,avg} = \frac{{v}_{xi} + {v}_{xf}}{2} }[/math] (ax는 일정) (식 B)

평균 속도에 대한 이 표현은 가속도가 일정한 상황에서만 적용된다.

Δx 는 x_f - x_i 이고 Δt = t_f - t_i = t – 0 = t 임을 고려하면

[math]\displaystyle{ {x}_{f} - {x}_{i} = {v}_{x,avg}t = \frac{1}{2} \left({v}_{xi} + {v}_{xf} \right)t }[/math]

[math]\displaystyle{ {x}_{f} = {x}_{i} + \frac{1}{2}\left({v}_{xi} + {v}_{xf} \right)t }[/math] (ax 는 일정) (식 C)

를 얻게 된다. 이 식은 처음 속도와 나중 속도에 의하여, 시간이 t일 때 입자의 나중 위치를 나타낸다.

식 B를 식 C에 대입함으로써 등가속도로 운동하는 입자의 위치에 관한 또 하나의 유용한 식을 얻을 수 있다.

[math]\displaystyle{ {x}_{f} = {x}_{i} + \frac{1}{2}\left[{v}_{xi} + \left({v}_{xi} + {a}_{x}t \right) \right]t }[/math]

[math]\displaystyle{ {x}_{f} = {x}_{i} + {v}_{xi}t + \frac{1}{2}{a}_{x}{t}^{2} }[/math] (ax는 일정) (식 D)

이 식은 입자의 처음 속도와 등가속도를 알 때 시간 t에서 입자의 나중 위치를 나타낸다.

마지막으로 식 A를 C에 대입하여 t를 소거함으로써 변수 t를 포함하지 않는 나중 속도에 관한 식을 얻을 수 있다.

[math]\displaystyle{ {x}_{f} = {x}_{i} + \frac{1}{2}\left({v}_{xi} + {v}_{xf} \right)\left(\frac{{v}_{xf} - {v}_{xi}}{{a}_{x}} \right) = {x}_{i} + \frac{{{v}_{xf}}^{2} - {{v}_{xi}}^{2}}{2{a}_{x}} }[/math]

[math]\displaystyle{ {{v}_{xf}}^{2} = {{v}_{xi}}^{2} + 2{a}_{x}\left({x}_{f} - {x}_{i} \right) }[/math] (ax는 일정) (식 E)

이 식은 나중 속도를 입자의 처음 속도, 등가속도 및 위치로 나타낸 것이다.

식 A에서 E 까지는 등가속도로 움직이는 일차원 운동에 관해 문제를 푸는 데 사용될 수 있는 “”운동학 식”” 이다. 가장 자주 사용되는 네 개의 운동학 식을 아래의 표에 열거했다. 알고 있는 변수들에 따라 사용할 식을 선택해서 사용하길 바란다.

번호	식	식에 표시된 정보
A	[math]\displaystyle{ {v}_{xf} = {v}_{xi} + {a}_{x}t }[/math]	시간의 함수로 나타낸 속도
C	[math]\displaystyle{ {x}_{f} = {x}_{i} + \frac{1}{2}\left({v}_{xi} + {v}_{xf} \right)t }[/math]	속도와 시간의 함수로 나타낸 위치
D	[math]\displaystyle{ {x}_{f} = {x}_{i} + {v}_{xi}t + \frac{1}{2}{a}_{x}{t}^{2} }[/math]	시간의 함수로 나타낸 위치
E	[math]\displaystyle{ {{v}_{xf}}^{2} = {{v}_{xi}}^{2} + 2{a}_{x}\left({x}_{f} - {x}_{i} \right) }[/math]	위치의 함수로 나타낸 속도