사칙연산(四則演算)은 셈법에서 가장 기초적인 네 가지 연산, 즉 덧셈(+), 뺄셈(-), 곱셈(×) 및 나눗셈(÷)을 아울러 일컫는 말이다. 다른 한자어로 가감승제(加減乘除)라고도 표현하는데, 각각 더하다, 빼다, 곱하다, 나누다를 나타내는 한자이다.
다만 이처럼 네 가지 연산을 뭉뚱그려 일컫는 말에 불과하고, 이에 관한 어떤 논의까지 함의하지는 않는다. 즉, 예를 들어 일부 인터넷 문서에서는 “사칙연산을 제대로 몰라 111+1×2=224라고 했다”는 식으로 적고 있는데, “사칙연산 간의 우선순위를 제대로 몰랐다”면 모를까 사칙연산 자체를 모른 것은 아니다. 사칙연산 간의 우선순위는 말 그대로 사칙연산 간의 우선순위일 뿐이고, 사칙연산의 내재적 성질이 절대로 아니다.
사칙연산이 자유로운 집합을 두고 체(體, field, Körper)라고 한다. 즉 유리수 전체의 집합, 실수 전체의 집합, 복소수 전체의 집합 등을 체라고 한다.
뺄셈과 나눗셈에 대한 이해 및 0으로 나누기[편집 | 원본 편집]
사칙연산 중 덧셈과 곱셈을 좀 더 근본적인 것으로 이해하고 뺄셈과 나눗셈은 여기서 파생된 것으로 이해하기도 한다. 덧셈과 곱셈은 결합법칙(associativity)이 성립하는 데 반해 뺄셈과 나눗셈은 그렇지 않기 때문이다. 즉
- (a+b)+c = a+(b+c)이고 (a×b)×c = a×(b×c)
이지만
- (a−b)−c ≠ a−(b−c)이고 (a÷b)÷c ≠ a÷(b÷c)
이기 때문이다. 이때 뺄셈과 나눗셈은 각각 덧셈과 곱셈의 역연산으로 이해할 수 있다. 즉
- a+b=c ⇔ a=c−b
- a×b=c ⇔ a=c÷b
으로 이해할 수 있다. 또한 각각 덧셈에 대한 역원(반수)을 더하는 것과 곱셈에 대한 역원(역수)을 곱하는 것으로 이해할 수도 있다. 즉
- a+(−b)를 a−b로 정의
- a×(b−1)를 a÷b로 정의
으로 이해할 수도 있다.
어느 쪽으로 이해하든 0으로 나누기가 불가능한 점이 바로 설명된다.
즉 나눗셈을 곱셈의 역연산으로 이해하는 경우 다시 말해 a=c÷b를 a×b=c의 해로 이해하는 경우에는, b=0이면 c=0이면 부정이고 c≠0이면 불능이므로 a의 값이 한 가지로 정해지지 않아 불가능하다고 생각하면 되고, 나눗셈을 특수한 곱셈으로 이해하는 경우 다시 말해 a×(b−1)를 a÷b로 정의한다고 이해하는 경우에는 0의 곱셈에 대한 역원이 존재하지 않으므로 불가능하다고 생각하면 된다.
가끔 극한에서는 0으로 나누기도 한다고 착각하는데, 이는 극한을 올바로 이해하지 못한 것이다. 극한은 말 그대로 x가 a를 향해 한없이 가까이 갈 때 f(x)가 어떤 값에 한없이 가까이 가는지를 구하는 것일 뿐이다. x에 a를 대입하지 않으므로 분모가 0이 되지 않고 따라서 나누기가 가능한 것이지, 절대로 0으로 나눈 적이 없다. “0/0 꼴” 등의 표현은 말 그대로 그런 꼴이라는 것이지, 실제로 0으로 나눴다는 뜻이 아니다.
사칙연산 간의 우선순위[편집 | 원본 편집]
사칙연산이 섞여 있을 경우에는 곱하기와 나누기를 먼저 하고, 더하기와 빼기를 나중에 하는 것이 관습이다. 왜 이런 관습이 존재하는지에 관해서는 시원한 답이 되는 것은 아니나 네이버캐스트 “왜 곱셈을 먼저 할까?”를 참조하면 좋다.
그렇다면 더하기와 빼기를 먼저 할 필요가 있으면 어떻게 하는가? 왠지 더하거나 빼는 부분이 똘똘 뭉쳐 있으면 먼저 할 수밖에 없어 보였는지, 이런 경우 그 부분을 괄호로 묶어 준다.
좀 더 일반적인 경우(괄호, 거듭제곱(지수), 곱하기와 나누기, 더하기와 빼기)에 대하여 일반적으로 말하는 연산의 우선순위를 나열하면 아래와 같다.
- 괄호가 있는 경우 괄호 안의 연산을 수행한다.
- 괄호가 중첩된 경우 가장 안쪽의 괄호부터 수행한다.
- 거듭제곱이 있는 경우 거듭제곱을 수행한다.
- 곱하기와 나누기가 있는 경우 곱하기와 나누기를 수행한다.
- 곱하기와 나누기는 순위가 같다.
- 마지막으로 더하기와 빼기를 수행한다.
- 더하기와 빼기는 순위가 같다.
물론 위 순서도 완벽한 것은 아니다. 예를 들어 a×b!은 어떻게 하는가? 거듭제곱도 중위 표기법으로 쓸 경우 a^b!은 어떻게 하는가? 집합의 연산이나 논리 연산 혹은 불 대수(boolean algebra)에서는 어떻게 하는가? 여기에 대해서 위 순서는 아무런 대답을 하지 못하거나 아예 논외로 하고 있다.
그렇다고 하여 해결 방법이 없다는 것은 아니고, 예를 들어 a×b! 등의 경우에는 보통 ‘단항 연산을 이항 연산보다 먼저 수행’한다는 관습이 있고(즉 a×(b!)이라는 뜻), 이런 관습이 전혀 없는 경우에는 항상 괄호를 쓰면 다 해결된다.
부호의 생략[편집 | 원본 편집]
복잡한 사칙연산, 특히 괄호가 들어가 있는 경우 곱하기 부호를 생략하거나 ·으로 대체할 수 있다. 다만 생략을 하거나 대체를 할 경우에는 일관되게 하여야 제대로 된 식이 된다. 어디는 하고 어디는 하지 않으면 나중에는 자기 자신도 헷갈릴 수 있다. 또한 나누기는 분수식으로 표시할 수도 있다.