| 위상공간의 분리공리 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 콜모고로프 공간 (T0) | 프레셰 공간 (T1) | 하우스도르프 공간 (T2) | 우리손 공간 (T2½) | |
| 정칙공간 (T3) | 완비정칙공간 (T3½) | 정규공간 (T4) | 완비정규공간 (T5) | 완전정규공간 (T6) |
위상공간 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 서로 다른 두 원소 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]에 대해, 열린집합 [math]\displaystyle{ U,V\subset X }[/math]가 존재해
- [math]\displaystyle{ a\in U }[/math], [math]\displaystyle{ b\not\in U }[/math], [math]\displaystyle{ b\in V }[/math], [math]\displaystyle{ a\not\in V }[/math]
이면 [math]\displaystyle{ X }[/math]를 T1 공간이라 한다.
예시
- [math]\displaystyle{ X=\{a,b\} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \mathcal{T}=\{\emptyset, \{a\},X\} }[/math]로 정의하면 [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}) }[/math]는 T0 공간이지만 T1 공간이 아니다. (시에르핀스키 공간)
- 무한집합 [math]\displaystyle{ X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \mathcal{T}=\{\emptyset\}\cup \{O\subset X \mid X\setminus O\text{ is finite}\} }[/math]로 정의하면 [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}) }[/math]는 T1 공간이지만 T2 공간이 아니다. (여유한위상)
성질
다음 명제는 동등하다.
- [math]\displaystyle{ X }[/math]는 T1 공간이다.
- [math]\displaystyle{ X }[/math]의 임의의 유한부분집합은 닫힌집합이다.
- [math]\displaystyle{ X }[/math]의 임의의 한원소 부분집합은 닫힌집합이다.
다음 명제가 성립한다.
- T1 성질은 위상적 성질이다.
- T1 성질은 계승적 성질이다.
- 임의의 T1 공간은 T0 공간이다.
- 집합에 주어지는 최소의 T1 위상은 여유한위상이다.
- 유한 T1 공간은 이산공간이다.
- T1 공간의 부분집합 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 한 집적점을 [math]\displaystyle{ a }[/math]라 하면, [math]\displaystyle{ a }[/math]를 포함하는 임의의 열린집합 [math]\displaystyle{ O }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ (O\setminus\{a\})\cap A }[/math]은 무한집합이다.
- T1 공간의 임의의 부분집합의 유도집합은 닫힌집합이다.
다른 분리공리와의 관계
수렴하는 수열이 단 하나의 극한값을 가지는 위상공간을 US 공간, 모든 콤팩트집합이 닫힌집합인 위상공간을 KC 공간이라 하자. 그러면 다음 포함 관계가 성립한다.[1]
- T0 공간 ⇐ T1 공간 ⇐ US 공간 ⇐ KC 공간 ⇐ T2 공간