T1 공간

위상공간 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 서로 다른 두 원소 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]에 대해, 열린집합 [math]\displaystyle{ U,V\subset X }[/math]가 존재해

[math]\displaystyle{ a\in U }[/math], [math]\displaystyle{ b\not\in U }[/math], [math]\displaystyle{ b\in V }[/math], [math]\displaystyle{ a\not\in V }[/math]

이면 [math]\displaystyle{ X }[/math]를 T₁ 공간이라 한다.

예시

• [math]\displaystyle{ X=\{a,b\} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \mathcal{T}=\{\emptyset, \{a\},X\} }[/math]로 정의하면 [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}) }[/math]는 T₀ 공간이지만 T₁ 공간이 아니다. (시에르핀스키 공간)
• 무한집합 [math]\displaystyle{ X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \mathcal{T}=\{\emptyset\}\cup \{O\subset X \mid X\setminus O\text{ is finite}\} }[/math]로 정의하면 [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}) }[/math]는 T₁ 공간이지만 T₂ 공간이 아니다. (여유한위상)

성질

다음 명제는 동등하다.

• [math]\displaystyle{ X }[/math]는 T₁ 공간이다.
• [math]\displaystyle{ X }[/math]의 임의의 유한부분집합은 닫힌집합이다.
• [math]\displaystyle{ X }[/math]의 임의의 한원소 부분집합은 닫힌집합이다.

다음 명제가 성립한다.

• T₁ 성질은 위상적 성질이다.
• T₁ 성질은 계승적 성질이다.
• 임의의 T₁ 공간은 T₀ 공간이다.
• T₁ 공간의 임의의 부분집합의 유도집합은 닫힌집합이다.

수렴하는 수열이 단 하나의 극한값을 가지는 위상공간을 US 공간, 모든 콤팩트집합이 닫힌집합인 위상공간을 KC 공간이라 하자. 그러면 다음 포함 관계가 성립한다.

T₁ 공간 ⊂ US 공간 ⊂ KC 공간 ⊂ T₂ 공간

외부 링크

• http://mathworld.wolfram.com/T1-Space.html