0.999…=1

개요

0.999... = 1은 사람들이 흔히 수학계의 영원한 떡밥이라고 착각하는 (보통 다루는 공간에서) 참인 명제 중 하나이다. 가끔 evergreenc 같은 유사수학자들이 이를 말도 안 되는 논리를 들어 거짓이라고 설명증명하고는 한다.

실수의 십진 표현

이와 관련한 내용은 소수 (실수)에서 볼 수 있습니다.

먼저 실수의 십진 표현에 대하여 알아보자. 어떤 0 이상 1 이하의 실수 [math]\displaystyle{ a\in [0, 1] }[/math]에 대하여 어떤 수열 [math]\displaystyle{ \{a_n\} \; (a_n = 0, 1, \cdots ,9 \text{ for }n\in\mathbb N) }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ a = \sum_i a_i 10^{-i} }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ a=. \overline{a_1 a_2 a_3 \cdots} }[/math]로 표시하는 것이다. 그외의 범위에 대해서는 [math]\displaystyle{ x = \lfloor x \rfloor + a }[/math]에서 정의된다. 즉, 우리가 알고 있던 무한소수는 사실 무한급수이다.

잘못된 증명

증명은 표현이 정확해야 한다.

“	1은 1.000...과 같다. 즉 1=1.000... 1.000...에서 0.999...를 뺀다. 그 결과는 0.000... 소수점 아래로 0이 무한 개가 나온다. 즉 1에서 0.999...를 뺀 건 0이랑 별 차이 없다고 볼 수 있다. 그래서 0.999...는 1과 별 차이 없다.	”

별 차이 없다와 같다는 완전히 다르다. 별 차이 없어도 같지 않을 수 있으며, 별 차이 없음의 기준이 모호하기도 하다. 물론 1 - 0.99... = 0이다.

러시아에선 결과로 증명합니다!

1÷9를 연필과 종이를 가지고 직접 계산하던지, 아니면 계산기를 꺼내어 실행해보자. 몇이 나오는가? 0.111… 이다. 즉, 0.111…=1/9이다.

• 0.111… = 1/9
• 9 * 0.111… = 9 * 1/9
• 0.999… = 1

이건 증명이 아니라 확인이다... 애초에 1/9 = 0.111…임을 알면 1 = 0.999…임도 알 것이고….

증명

무한이란 끝이 없다

{{{1}}}

“	0.999...를 x라 하자. x = 0.999... 10x=9.999... 10x - x = 9.999... - 0.999...이므로, 9x = 9, x=1 따라서 0.999...는 1이 된다.	”

중학교 교과과정에서 이런 식(2, 3)의 증명을 하지만, 이런 논리를 펼치면 9x = 0.8999...1이라는 사람이 꼭 나타나게 된다. 물론 무한소수의 의미를 안다면 이런 주장은 하지 못할 것이다. 무한소수에는 끝 자리 숫자라는 것이 존재하지 않는다. 하지만 그 사람들의 주장처럼, 여기에서는 0.999…의 수렴성이 증명되지 않는다. 즉 1-1+1-1+… = 1/2(그란디 급수)과 같은 주장의 여지가 있다. 물론 단조수렴정리면 끝이지만…. 이 정리를 배우지 않고서는 이 증명을 정당화할 수는 없으며, 극한이나 무한 개념을 배우기 이전인 중학교 때엔 그냥 대충 넘어간다.

등비급수 증명

“	0.999...는 초항이 0.9이고 공비가 [math]\displaystyle{ \frac{1}{10} }[/math]인 무한등비급수로 볼 수 있다. 따라서 [math]\displaystyle{ \displaystyle 0.999\cdots = \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{9}{10} \right )\left ( \frac{1}{10} \right )^k=\frac{9}{10}\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{1}{10} \right )^k }[/math] 여기서 우변의 [math]\displaystyle{ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{1}{10} \right )^k }[/math]는 첫째항이 1이고 공비가 [math]\displaystyle{ \displaystyle\frac{1}{10} }[/math]인 등비수열 [math]\displaystyle{ \displaystyle \{a_n\} }[/math]의 급수이므로 [math]\displaystyle{ \displaystyle a_{n}=10^{-n}, \; \lim \sum_{k=1}^{n} a_k=\lim \frac{10-10^{-n+1}}{9} = \frac{10}9, }[/math] [math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{9}{10}\times \frac{10}{9}=1 }[/math] 이다.	”

고등학교 과정에서 배우는 등비급수를 이용한 증명이다. 이때 이 급수의 수렴성은 자명하므로(멱급수의 수렴 반경) 옳은 증명이 된다.

0.999…의 수렴성

0.999…가 수렴한다는 것은 usual topology를 위상으로 택했을 때에나 가능한 일이다. 만약 lower limit topology를 선택했다면, 0.999…는 수렴하지 않는다.

같이 보기

• 0으로 나누기