회문 소수

회문 소수(回文 素數, Palindromic prime)는 자연수의 숫자를 거꾸로 써도 똑같은 소수이다. 숫자 배열은 기수법에 따라 달라지므로, 회문 소수도진법 별로 여러 종류가 있다.

특징

• 한 자리 소수는 모두 회문 소수이다.
• 11을 제외한 모든 회문 소수는 홀수 자릿수이다. 짝수 자릿수의 회문 수는 언제나 11의 배수이기 때문이다. 이는 모든 진법에서 성립한다.
• 단위 반복 소수는 회문 소수에 포함된다.
• 수가 커질 때, 특정 진법에서 회문 수와 회문 소수의 개수 사이에는 아래 관계식으로 쓸 수 있다.
  • [math]\displaystyle{ x }[/math] 이하의 회문 수의 집합을 [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(x) }[/math]라 할 때, [math]\displaystyle{ \text{#}\{n \in \mathcal{P}(x)|n \text{ is prime}\} = O\left(\text{#}\mathcal{P}(x)\frac{\log\log\log x}{\log\log x} \right) \text{ as } x \to \infty }[/math]

목록

• 십진법에서 1000 이하의 회문 소수는 20개이다. (OEIS의 수열 A002385)
  • 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, …
• 이진법 회문 소수에는 메르센 소수 및 페르마 소수도 포함한다. [math]\displaystyle{ 2^{11} }[/math] 이하에서는 18개가 존재한다. (OEIS의 수열 A016041)
  • 이진법 표기: 11, 101, 111, 10001, 11111, 1001001, 1101011, 1111111, 100000001, 100111001, 110111011, 10010101001, 10110101101, …
  • 십진법 표기: 3, 5, 7, 17, 31, 73, 107, 127, 257, 313, 443, 1193, 1453, 1571, 1619, 1787, 1831, 1879, …
• 팔진법 기준 [math]\displaystyle{ 8^3 }[/math] 이하에서는 17개 존재한다. (OEIS의 수열 A029976)
  • 팔진법 표기: 2, 3, 5, 7, 111, 131, 141, 161, 323, 343, 373, 535, 565, 717, 737, 747, 767, …
  • 십진법 표기: 2, 3, 5, 7, 73, 89, 97, 113, 211, 227, 251, 349, 373, 463, 479, 487, 503, …

알려진 가장 큰 소수

아래는 2022년 7월 28일까지 알려진 가장 큰 십진법 회문 소수들을 나열한 것이다.

#	소수	자릿수	발견 시기	숫자 배열
1	[math]\displaystyle{ 10^{1888529}-10^{944264}-1 }[/math]	1888529	2021년 10월	999…999 8 999…999 (9가 944264개씩)
2	[math]\displaystyle{ 10^{1234567}-20342924302 \cdot 10^{617278}-1 }[/math]	1234567	2021년 9월	999…999 79657 0 75697 999…999 (9가 617278개씩)
3	[math]\displaystyle{ 10^{1234567}-3626840486263 \cdot 10^{617277}-1 }[/math]	1234567	2021년 9월	999…999 637315 9 513736 999…999 (9가 617277개씩)
4	[math]\displaystyle{ 10^{1234567}-4708229228074 \cdot 10^{617277}-1 }[/math]	1234567	2021년 9월	999…999 529177 0 771925 999…999 (9가617277개씩)
5	[math]\displaystyle{ 10^{490000}+\frac{(10^{7383}-1)10^{241309}}{3}+1 }[/math]	490001	2021년 8월	1000…000 333…333 000…0001 (0이 241308개씩, 3이 7383개)
6	[math]\displaystyle{ 10^{474500}+999 \cdot 10^{237249}+1 }[/math]	474501	2014년 11월	1000…000 999 000…0001 (0이 237248개씩)
7	[math]\displaystyle{ 10^{400000}+\frac{4\cdot(10^{102381}-1)10^{148810}}{9}+1 }[/math]	400001	2021년 7월	1000…000 444…444 000…0001 (0이 148809개씩, 4가 102381개)
8	[math]\displaystyle{ 10^{390636}+999 \cdot 10^{195317}+1 }[/math]	390637	2014년 11월	1000…000 999 000…0001 (0이 195316개씩)
9	[math]\displaystyle{ 10^{362600}+666 \cdot 10^{181299}+1 }[/math]	362601	2014년 11월	1000…000 666 000…0001 (0이 181298개씩)
10	[math]\displaystyle{ \begin{align}&10^{320236}+10^{160118}+1 \\ &+(137\cdot10^{160119}+731 \cdot 10^{159275})\cdot \left(\frac{10^{843}-1}{999} \right)\end{align} }[/math]	320237	2014년 3월	1000…000 137…137 1 731…731 000…0001 (0이 159274개씩, "137"과 "731"은 각각 281회 반복)