황금비

황금비(Golden ratio)는 수학에서 자주 등장하는 상수 중 하나다.

정의

두 점을 잇는 선분을 분할할 때, 긴 쪽과 짧은 쪽의 길이 비가 전체와 긴 쪽의 길이 비와 같도록 내분하는 비율을 황금비라 하고, 문자는 일반적으로 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]를 쓴다. 긴 쪽의 길이를 [math]\displaystyle{ a }[/math], 짧은 쪽의 길이를 [math]\displaystyle{ b }[/math]라 하면 황금비는

[math]\displaystyle{ \varphi=\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}, \varphi\gt 0 }[/math]

과 같이 쓸 수 있으며, 구체적인 값은 [math]\displaystyle{ \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.61803398874989484820 }[/math]이다.

황금비는 이차방정식 [math]\displaystyle{ x^2=x+1 }[/math]의 해이기도 하다. 이 성질에 따라 황금비 값을 아래 두 방법으로 무한 전개를 할 수 있다.

• 연분수 표현: [math]\displaystyle{ \varphi =1+\frac{1}{\varphi} =1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+ \cdots}}}}= [1;1,1,1,1,\cdots] }[/math]
• 다중근호 표현: [math]\displaystyle{ \varphi =\sqrt{1+\varphi} =\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}} }[/math]

황금비가 등장하는 예

• 피보나치 수열의 이웃한 항 사이의 비의 극한은 황금비에 수렴한다.
  • [math]\displaystyle{ F_n=\frac{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}}{\sqrt{5}}, \lim_{n \to \infty} \frac{F_n}{F_{n-1}} =\lim_{n \to \infty} \frac{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}}{\varphi^{n-1}-(-\varphi)^{-(n-1)}} =\lim_{n \to \infty} \frac{\varphi-(-\varphi)^{-2n+1}}{1-(-\varphi)^{-2n+2}} =\varphi }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \varphi^n=F_{n-1}+F_n\varphi }[/math]
  • [math]\displaystyle{ a_n=a_{n-1}+a_{n-2} }[/math]와 같이 정의된 수열은 처음 두 항인 [math]\displaystyle{ a_1, a_2 }[/math]의 값에 관계 없이 언제나 황금비에 수렴한다.
• 뤼카 수는 두 번째 항부터 황금비의 거듭제곱에 가장 가까운 정수이다. 즉 [math]\displaystyle{ L_n=\varphi^{n}+\varphi^{-n}= \left \lfloor \varphi^{n}+\frac{1}{2} \right \rfloor \text{ for } n \geq 2 }[/math]
• 정오각형의 대각선의 길이와 한 변의 길이의 비는 황금비이다.
• [math]\displaystyle{ \sin{18^\circ}=\frac{1}{2\varphi}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}, \sin{54^\circ}=\frac{\varphi}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{4} }[/math]

같이 보기

• 금속비
• 플라스틱 비
• 피보나치 수열