황금비 편집하기

'''황금비'''(Golden ratio)는 수학에서 자주 등장하는 상수 중 하나다.

== 정의 ==
두 점을 잇는 선분을 분할할 때, 긴 쪽과 짧은 쪽의 길이 비가 전체와 긴 쪽의 길이 비와 같도록 내분하는 비율을 황금비라 하고, 문자는 일반적으로 <math>\varphi</math>를 쓴다. 긴 쪽의 길이를 <math>a</math>, 짧은 쪽의 길이를 <math>b</math>라 하면 황금비는
:<math>\varphi=\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}, \varphi>0</math>
과 같이 쓸 수 있으며, 구체적인 값은 <math>\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.61803398874989484820</math>이다.

황금비는 이차방정식 <math>x^2=x+1</math>의 해이기도 하다. 이 성질에 따라 황금비 값을 아래 두 방법으로 무한 전개를 할 수 있다.

* [[연분수]] 표현: <math>\varphi =1+\frac{1}{\varphi} =1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+ \cdots}}}}= [1;1,1,1,1,\cdots]</math>
* [[다중근호]] 표현: <math>\varphi =\sqrt{1+\varphi} =\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}</math>

== 황금비가 등장하는 예 ==
* [[피보나치 수열]]의 이웃한 항 사이의 비의 극한은 황금비에 수렴한다.
** <math>F_n=\frac{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}}{\sqrt{5}}, \lim_{n \to \infty} \frac{F_n}{F_{n-1}} =\lim_{n \to \infty} \frac{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}}{\varphi^{n-1}-(-\varphi)^{-(n-1)}} =\lim_{n \to \infty} \frac{\varphi-(-\varphi)^{-2n+1}}{1-(-\varphi)^{-2n+2}} =\varphi</math>
** <math>\varphi^n=F_{n-1}+F_n\varphi</math>
** <math>a_n=a_{n-1}+a_{n-2}</math>와 같이 정의된 수열은 처음 두 항인 <math>a_1, a_2</math>의 값에 관계 없이 언제나 황금비에 수렴한다.
* [[뤼카 수]]는 두 번째 항부터 황금비의 거듭제곱에 가장 가까운 정수이다. 즉 <math>L_n=\varphi^{n}+\varphi^{-n}= \left \lfloor \varphi^{n}+\frac{1}{2} \right \rfloor \text{ for } n \geq 2</math>
* [[정오각형]]의 대각선의 길이와 한 변의 길이의 비는 황금비이다.
* <math>\sin{18^\circ}=\frac{1}{2\varphi}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}, \sin{54^\circ}=\frac{\varphi}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}</math>

== 같이 보기 ==
* [[금속비]]
* [[플라스틱 비]]
* [[피보나치 수열]]

{{각주}}
{{수}}
[[분류:수]]