행렬지수

정의

정사각행렬 A가 주어졌을 때, 행렬급수

[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}A^n=I+\frac{1}{1!}A+\frac{1}{2!}A^2+\frac{1}{3!}A^3+\cdots }[/math]

를 행렬지수(matrix exponential)라고 하고, [math]\displaystyle{ \exp A }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ e^A }[/math]로 나타낸다.

급수의 수렴성

행렬지수는 복소수 성분을 가지는 임의의 행렬에 대해 절대수렴한다. [math]\displaystyle{ A^n }[/math]의 [math]\displaystyle{ (i,j) }[/math]성분을 [math]\displaystyle{ A^n_{ij} }[/math]라 하면

[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} |A^n_{ij}|\le \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\| A^n \|\le\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\| A \|^n=e^{\| A \|} }[/math]

이고, 증가하면서 유계인 급수는 수렴하기 때문이다.

예시

행렬

[math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 3 \end{bmatrix} }[/math]

에 대해,

[math]\displaystyle{ A^2=\begin{bmatrix} 2^2 & 0\\ 0 & 3^2 \end{bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ A^3=\begin{bmatrix} 2^3 & 0\\ 0 & 3^3 \end{bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]

[math]\displaystyle{ A^n=\begin{bmatrix} 2^n & 0\\ 0 & 3^n \end{bmatrix} }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ e^A=\begin{bmatrix} 1+\frac{2}{1!}+\frac{2^2}{2!}+\frac{2^3}{3!}+\cdots+\frac{2^n}{n!}+\cdots & 0\\ 0& 1+\frac{3}{1!}+\frac{3^2}{2!}+\frac{3^3}{3!}+\cdots+\frac{3^n}{n!}+\cdots \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} e^2 & 0\\ 0 & e^3 \end{bmatrix} }[/math]

이다.

성질

기본

• [math]\displaystyle{ e^O=I }[/math]이고 [math]\displaystyle{ e^I=eI }[/math]이다.

[math]\displaystyle{ e^O=I+O+O+O+\cdots=I }[/math]

[math]\displaystyle{ e^I=I+I+\frac{1}{2!}I+\frac{1}{3!}I+\cdots=\left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots\right)I=eI }[/math]

• [math]\displaystyle{ \det B\ne 0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ e^{B^{-1}AB}=B^{-1}e^A B }[/math]이다.
• [math]\displaystyle{ e^{(u+v)A} = e^{uA}e^{vA} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \det e^{A} \neq 0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left( e^{A} \right)^{-1} = e^{-A} }[/math]
• 임의의 n차 정사각행렬 A와 [math]\displaystyle{ t\in \mathbb{R} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}e^{At}=Ae^{At} }[/math]이다.

[math]\displaystyle{ \begin{align}\frac{d}{dt}e^{At}&=A+A^2t+\cdots+\frac{1}{n!}A^{n+1}t^n+\cdots\\ &=A\left(I+ At+\cdots+\frac{1}{n!}A^n t^n+\cdots \right)\\ &=Ae^{At} \end{align} }[/math]

• [math]\displaystyle{ AB=BA }[/math]이면 [math]\displaystyle{ e^{A+B}=e^A e^B }[/math]이다.

함수 [math]\displaystyle{ f(t) }[/math]를

[math]\displaystyle{ f(t)=e^{(A+B)t}e^{-At}e^{-Bt} }[/math]

으로 정의하면

[math]\displaystyle{ f'(t)=(A+B)e^{(A+B)t}e^{-At}e^{-Bt}-Ae^{(A+B)t}e^{-At}e^{-Bt}-Be^{(A+B)t}e^{-At}e^{-Bt}=O }[/math]

이므로 f는 상수함수이다. 그리고

[math]\displaystyle{ f(0)=I }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ e^{(A+B)t}=e^{At}e^{Bt} }[/math]

이다. [math]\displaystyle{ t=1 }[/math]을 대입하면 원하는 결론을 얻는다.

미분방정식

미분방정식

[math]\displaystyle{ \frac{d\mathbf{x}}{dt}=A\mathbf{x} }[/math]

가 주어졌을 때 임의의 해를 [math]\displaystyle{ \mathbf{x}(t) }[/math]라 하자. 이때

[math]\displaystyle{ \mathbf{u}(t)=e^{-At}\mathbf{x}(t) }[/math]

로 정의하면

[math]\displaystyle{ \frac{d\mathbf{u}}{dt}=-Ae^{-At}\mathbf{x}+e^{-At}\frac{d\mathbf{x}}{dt}=0 }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ \mathbf{u}(t)=\mathbf{c} }[/math]

인 상수벡터 c가 존재한다. 양변에 [math]\displaystyle{ e^{At} }[/math]를 곱하면

[math]\displaystyle{ x(t)=e^{At}\mathbf{c} }[/math]

이다. 따라서 초깃값 문제

[math]\displaystyle{ \frac{d\mathbf{x}}{dt}=A\mathbf{x},\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0 }[/math]

의 해는

[math]\displaystyle{ \mathbf{x}(t)= e^{A t}\mathbf{x}_0 }[/math]

이다.

외부 링크

• Enrico Bertolazzi. Matrix exponential. 2015년 7월 16일에 확인.
• D. Klain. The Matrix Exponential (with exercises). 2015년 7월 17일에 확인.