정의
정사각행렬 A가 주어졌을 때, 행렬급수
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}A^n }[/math]
를 행렬지수(matrix exponential)라고 하고, [math]\displaystyle{ \exp A }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ e^A }[/math]로 나타낸다.
급수의 수렴성
행렬지수는 복소수 성분을 가지는 임의의 행렬에 대해 절대수렴한다. [math]\displaystyle{ A^n }[/math]의 [math]\displaystyle{ (i,j) }[/math]성분을 [math]\displaystyle{ A^n_{ij} }[/math]라 하면
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} |A^n_{ij}|\le \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\| A^n \|\le\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\| A \|^n=e^{\| A \|} }[/math]
예시
행렬
- [math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 3 \end{bmatrix} }[/math]
에 대해,
- [math]\displaystyle{ A^2=\begin{bmatrix} 2^2 & 0\\ 0 & 3^2 \end{bmatrix} }[/math]
- [math]\displaystyle{ A^3=\begin{bmatrix} 2^3 & 0\\ 0 & 3^3 \end{bmatrix} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \vdots }[/math]
- [math]\displaystyle{ A^n=\begin{bmatrix} 2^n & 0\\ 0 & 3^n \end{bmatrix} }[/math]
이므로
- [math]\displaystyle{ e^A=\begin{bmatrix} 1+\frac{2}{1!}+\frac{2^2}{2!}+\frac{2^3}{3!}+\cdots+\frac{2^n}{n!}+\cdots & 0\\ 0& 1+\frac{3}{1!}+\frac{3^2}{2!}+\frac{3^3}{3!}+\cdots+\frac{3^n}{n!}+\cdots \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} e^2 & 0\\ 0 & e^3 \end{bmatrix} }[/math]
이다.
성질
- [math]\displaystyle{ AB=BA }[/math]이면 [math]\displaystyle{ e^{A+B}=e^A e^B }[/math]이다.
- [math]\displaystyle{ \det B\ne 0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ e^{B^{-1}AB}=B^{-1}e^A B }[/math]이다.
계산법
외부 링크
- Enrico Bertolazzi. Matrix exponential. 2015년 7월 16일에 확인.