행렬지수 편집하기



== 정의 ==
[[정사각행렬]] ''A''가 주어졌을 때, 행렬급수
: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}A^n=I+\frac{1}{1!}A+\frac{1}{2!}A^2+\frac{1}{3!}A^3+\cdots</math>
를 '''행렬지수(matrix exponential)'''라고 하고, <math>\exp A</math> 또는 <math>e^A</math>로 나타낸다.

== 급수의 수렴성 ==
행렬지수는 [[복소수]] 성분을 가지는 임의의 행렬에 대해 [[절대수렴]]한다. <math>A^n</math>의 <math>(i,j)</math>성분을 <math>A^n_{ij}</math>라 하면
: <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} |A^n_{ij}|\le \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\| A^n \|\le\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\| A \|^n=e^{\| A \|}</math>
이고, [[증가]]하면서 [[유계]]인 급수는 수렴하기 때문이다.

== 예시 ==
행렬
: <math>A=\begin{bmatrix}
2 & 0\\
0 & 3
\end{bmatrix}</math>
에 대해,
: <math>A^2=\begin{bmatrix}
2^2 & 0\\
0 & 3^2
\end{bmatrix}</math>
: <math>A^3=\begin{bmatrix}
2^3 & 0\\
0 & 3^3
\end{bmatrix}</math>
: <math>\vdots</math>
: <math>A^n=\begin{bmatrix}
2^n & 0\\
0 & 3^n
\end{bmatrix}</math>
이므로
: <math>e^A=\begin{bmatrix}
1+\frac{2}{1!}+\frac{2^2}{2!}+\frac{2^3}{3!}+\cdots+\frac{2^n}{n!}+\cdots & 0\\
0& 1+\frac{3}{1!}+\frac{3^2}{2!}+\frac{3^3}{3!}+\cdots+\frac{3^n}{n!}+\cdots
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
e^2 & 0\\
0 & e^3
\end{bmatrix}</math>
이다.

== 성질 ==
=== 기본 ===
* <math>e^O=I</math>이고 <math>e^I=eI</math>이다.
: <math>e^O=I+O+O+O+\cdots=I</math>
: <math>e^I=I+I+\frac{1}{2!}I+\frac{1}{3!}I+\cdots=\left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots\right)I=eI</math>
* <math>\det B\ne 0</math>이면 <math>e^{B^{-1}AB}=B^{-1}e^A B</math>이다.
* <math>e^{(u+v)A} = e^{uA}e^{vA}</math>
* <math>\det e^{A} \neq 0</math>이면 <math>\left( e^{A} \right)^{-1} = e^{-A}</math>
* 임의의 n차 정사각행렬 ''A''와 <math>t\in \mathbb{R}</math>에 대해 <math>\frac{d}{dt}e^{At}=Ae^{At}</math>이다.
: <math>\begin{align}\frac{d}{dt}e^{At}&=A+A^2t+\cdots+\frac{1}{n!}A^{n+1}t^n+\cdots\\
&=A\left(I+ At+\cdots+\frac{1}{n!}A^n t^n+\cdots \right)\\
&=Ae^{At}
\end{align}</math>
* <math>AB=BA</math>이면 <math>e^{A+B}=e^A e^B</math>이다.
함수 <math>f(t)</math>를
: <math>f(t)=e^{(A+B)t}e^{-At}e^{-Bt}</math>
으로 정의하면
: <math>f'(t)=(A+B)e^{(A+B)t}e^{-At}e^{-Bt}-Ae^{(A+B)t}e^{-At}e^{-Bt}-Be^{(A+B)t}e^{-At}e^{-Bt}=O</math>
이므로 ''f''는 상수함수이다. 그리고
: <math>f(0)=I</math>
이므로
: <math>e^{(A+B)t}=e^{At}e^{Bt}</math>
이다. <math>t=1</math>을 대입하면 원하는 결론을 얻는다.
=== 미분방정식 ===
미분방정식
: <math>\frac{d\mathbf{x}}{dt}=A\mathbf{x}</math>
가 주어졌을 때 임의의 해를 <math>\mathbf{x}(t)</math>라 하자. 이때
: <math>\mathbf{u}(t)=e^{-At}\mathbf{x}(t)</math>
로 정의하면
: <math>\frac{d\mathbf{u}}{dt}=-Ae^{-At}\mathbf{x}+e^{-At}\frac{d\mathbf{x}}{dt}=0</math>
이므로
: <math>\mathbf{u}(t)=\mathbf{c}</math>
인 상수벡터 '''c'''가 존재한다. 양변에 <math>e^{At}</math>를 곱하면
: <math>x(t)=e^{At}\mathbf{c}</math>
이다. 따라서 [[초깃값 문제]]
: <math>\frac{d\mathbf{x}}{dt}=A\mathbf{x},\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0</math>
의 해는
: <math>\mathbf{x}(t)= e^{A t}\mathbf{x}_0</math>
이다.

== 계산법 ==

== 외부 링크 ==
* Enrico Bertolazzi. [http://www.ing.unitn.it/~bertolaz/2-teaching/2012-2013/AA-2012-2013-DYSY/lucidi/Exponential.pdf Matrix exponential]. 2015년 7월 16일에 확인.
* D. Klain. [http://faculty.uml.edu/dklain/exponential.pdf The Matrix Exponential (with exercises)]. 2015년 7월 17일에 확인.

[[분류:선형대수학]]