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(2014, April 27). ''ProofWiki'', Retrieved 13:04, June 9, 2015.</ref> 여기서 <math>X</math>를 '''정의역'''(Domain), <math>Y</math>를 '''공역'''(Codomain)이라 부른다. 즉, 함수가 되기위해서는 정의역의 각 원소를 단 하나의 공역의 원소와 대응이 되어야 한다. 해당 특성을 'well-defined'라고 부른다. 대안으로 다음과 같이 정의할 수도 있다. 이항관계 ''f''가 조건 : <math>\left(x,y_1\right)\in f</math>이고 <math>\left(x,y_2\right)\in f</math>이면 <math>y_1=y_2</math>이다. 를 만족하면 ''f''를 함수라 한다. 만약 <math>\operatorname{dom} f=X ,\operatorname{ran} f\subseteq Y</math>라면 <math>f: X \to Y</math>로 표기한다.<ref>Karel Hrbacek and Thomas Jech (1999). ''Introduction to Set Theory, Third Edition, Revised and Expanded''. CRC Press. {{ISBN|0824779150}}</ref> 책에 따라서는 함수라는 말 대신 사상(map)이라는 말을 쓰기도 한다. 일반적으로 함수와 사상은 동의어지만, 사상은 범주론에서 좀 더 일반화 된 의미를 가진다. 해석학에서는 그냥 동의어라 생각하자. 이제 함수 <math>f:X\to Y</math>에 대해, 정의역의 원소를 <math>x</math>, 공역의 원소를 <math>y</math>라 하자. 그럼 <math>f:x\mapsto y</math>는 우리가 흔히 알고 있는 <math>f\left(x\right)=y</math>와 동치이다. 정의역의 부분집합 <math>A</math>에 대해, 집합 <math>\left\{f\left(a\right)|a\in A\right\}</math>를 <math>A</math>의 '''상(image)'''라 하며, <math>f\left(A\right)</math>라 쓴다. 반대로 공역의 부분집합 <math>B</math>에 대해 <math>\left\{x\in X|f\left(x\right)\in B\right\}</math>를 <math>B</math>의 '''원상(preimage)''' 혹은 '''역상(inverse image)'''이라 부르며, <math>f^{-1}\left(B\right)</math>로 쓴다. 특히, 정의역의 상을 '''치역(range)'''이라 부른다. 마지막으로 함수의 그래프는 <math>X\times Y</math>의 부분집합이다. == 전사, 단사 == {{참조|전사함수|단사함수|일대일대응}} 함수 <math>f:X\to Y</math>에 대해, 공역과 치역이 같을 경우, '''전사 함수'''(onto, surjection)라 부른다. 그리고 치역의 임의의 서로 다른 두 원소가 서로 다른 원상을 가지면 그 함수를 '''단사 함수'''(one-to-one, injection)라 부른다. 간단하게 수식으로 표현하면, <math>\text{ran }f=Y</math>일 때 전사, <math>f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)\Rightarrow x_1=x_2</math>일 때 단사가 된다. 만약 전사이며 단사인 함수라면, 전단사 함수(one-to-one correspond, 1-1 onto, bijection)가 된다. 뭔가 어려운 어휘를 쓴 것 같지만, 단사 함수는 '''일대일''' 함수를 말한다. 그리고 전단사 함수는 '''일대일 대응''' 함수를 부르는 말이다. 전사, 단사 함수의 존재를 통해 두 집합의 크기(Cardinality)를 비교할 수 있다. 함수 <math>f:X\to Y</math>가 전사 함수(onto)라면, 집합 X는 집합 Y보다 크거나 같다.(|X|≥|Y|) 함수 <math>f:X\to Y</math>가 단사 함수(one-to-one)라면, 집합 X는 집합 Y보다 작거나 같다.(|X|≤|Y|) 함수 <math>f:X\to Y</math>가 전단사 함수라면, 집합 X와 집합 Y의 크기는 서로 같다. 자세한 것은 [[농도 (수학)]] 참조. == 역함수 == {{참조|역함수}} 간단하게 설명하면, 정의역과 치역을 뒤집은 것. 어떤 함수의 역함수가 존재하기 위해서는, 원 함수가 반드시 (전)단사 함수여야 한다. 고등학교에서는 일대일 대응을 조건으로 가르치지만 일대일만 되도 역함수는 존재한다. <math>f:X\to Y</math>의 역함수는 <math>f^{-1}:f\left(X\right)\to X</math>가 되며, 여기서 <sup>-1</sup>는 [[지수]]와는 조금 다른 의미이다. 만약 원 함수가 단사가 아니어서 역함수가 존재하지 않아도, 정의역을 잘 정의해 주어 역함수가 존재하게 만들 수 있다. [[삼각함수 #역삼각함수|역삼각함수]]가 대표적인 예. == 항등함수 == {{참조|항등함수}} 정의역과 공역이 같은 함수 <math>f:X\to X</math>에 대해 <math>\forall x\in X,\,f\left(x\right)=x</math>이면은 그 함수를 '''항등함수'''라 부른다. 간단히 설명하면 집어넣은 것 그대로 튀어나오는 함수. 표기는 <math>i_X,I_X,id_X</math>등 다양한 표기법이 있다. 참고로 항등함수는 필연적으로 전단사 함수가 된다. == 합성 == {{참조|합성함수}} 한 함수의 치역이 다른 함수의 정의역의 부분집합이라고 하자. 이 두 함수를 이어서 한번에 나타내는 것을 함수의 합성(composition)이라 부른다. 고등학교에서는 치역과 정의역이 같아야 한다고 설명하지만 굳이 그럴 필요는 없다. 수식으로 표현하면, <math>f:X\to Y,\,g:U\to V,\,V\subseteq X</math>일 때, <math>f\circ g:U\to Y</math>가 된다. 합성된 두 함수를 표시할 때는 <math>\circ</math>를 쓰며, 다른 표현으로는 <math>f\left(g\left(x\right)\right)</math>이 있다. 중요한 것은, 합성된 함수를 풀어줄 때는 '''오른쪽'''부터 계산해 주어야 한다. 조건만 맞다면, 자기 자신을 합성할 수도 있다. <math>f\circ f</math>, 혹은 <math>f^2</math>라 표기하며, <sup>2</sup>는 역함수와 마찬가지로 지수와는 다른 의미를 가진다. 즉, <math>f^2\left(x\right)\neq f\left(x\right)\times f\left(x\right)</math>라는 의미. 만약 함수의 거듭제곱을 표현하고 싶다면 <math>\left(f\left(x\right)\right)^2</math> 이렇게 표현하자. 단, [[삼각함수]]만은 예외다. 함수의 합성은 [[결합법칙]]이 성립한다. 하지만 [[교환법칙]]은 성립하지 않는다. 또한, 어떤 함수와 그 역함수를 합성하면 항등 함수가 나온다. == 관련 항목 == *[[연속함수]] *[[삼각함수]] *[[초월함수]] {{각주}} [[분류:집합론]] [[분류:추상대수학]] [[분류:해석학]] [[분류:함수| ]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:ISBN (원본 보기) (준보호됨)틀:ㅊ (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:다른 뜻 (원본 보기) (준보호됨)틀:다른뜻 (편집) 틀:참고 (원본 보기) (준보호됨)틀:취소선 (원본 보기) (준보호됨)