함수 편집하기

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== 쉬운 정의 ==
두 변수 ''x'', ''y''가 있을 때, ''x''가 정해지면 그에 따라 ''y''가 하나로 정해질 때, ''y''를 ''x''의 함수(function of ''x'')라고 하고,
: ''y''=''f''(''x'')
와 같이 나타낸다.

예를 들어 한 권에 1,000원짜리 공책을 ''x''권 사는 경우를 생각해 보자. 그럼 지불해야 할 금액 ''y''원은 아래와 같다.
{| class="wikitable"
|+
''y'' = ''f''(''x'')
|-
| 구입한 권수 ''x'' (권) || 1 || 2 || 3 || 4 || 5
|-
| 지불할 금액 ''y'' (원) || 1,000 || 2,000 || 3,000 || 4,000 || 5,000
|}

이처럼 공책을 한 권 사면 천 원, 두 권 사면 이천 원이라는 식으로 가격이 하나로 정해지지, 한 권 샀는데 가격이 천 원이지만 이천 원이기도 하다는 식으로 되지는 않는다. 따라서 위 지불할 금액 ''y''는 과연 구입한 권수 ''x''의 함수가 된다.

이때 공책 세 권을 살 때(즉 ''x''=3)의 가격은 함수의 이름 ''f''를 써서 ''f''(3)과 같이 나타내며, 위 표에 따르면 ''f''(3)=1,000임을 알 수 있다. 이러한 ''x''에 따라 결정된 ''y''의 값, 즉 ''f''(1), ''f''(3) 등을 함숫값이라고 한다.

위 함수는 ''y'' = 1,000 ''x''라는 식으로 간단하게 나타낼 수 있다. 함숫값을 구하기 위해서는 이 함수식에 원하는 ''x'' 값을 대입하면 된다.

한편, 하나의 ''x'' 값에 대한 ''y'' 값은 하나여야 하지만, 하나의 ''y'' 값에 대한 ''x'' 값은 여럿이어도 된다. 예를 들어 아래와 같아도 여전히 함수이다.
{| class="wikitable"
|+
''y'' = ''g''(''x'')
|-
| 구입한 권수 ''x'' (권) || 1 || 2 || 3 || 4 || 5
|-
| 지불할 금액 ''y'' (원) || 1,000 || '''2,000''' || '''2,000''' || 3,000 || 4,000
|}
{{ㅊ|(학기초에 공책 3권에 2,000원으로 묶음판매한 경우)}}

이때는 앞서와 같이 ''y'' = 1,000 ''x''라는 식으로 간단하게 나타내기는 곤란하다. 그렇다고 해서 함수가 아닌 것은 아니다! 즉 규칙을 찾기 곤란하다고 함수가 아닌 것은 아니다. 언제나 정의대로 ''x''가 정해지면 그에 따라 ''y''가 하나로 정해질 때 ''y''를 ''x''의 함수라고 한다.

그럼 이런 경우에는 함숫값은 어떻게 구하는가? 표를 보고 구하면 된다.

진짜 정의는 아래에 있다.
== 정의 ==
[[관계 (수학)|이항관계]] <math>f\subseteq X\times Y</math>가 주어졌다고 하자. 임의의 <math>x\in X</math>에 대해 다음 조건
* <math>(x,y)\in f</math>인 <math>y\in Y</math>가 존재한다.
* <math>(x,y_1)\in f</math>이고 <math>(x,y_2)\in f</math>이면 <math>y_1=y_2</math>이다.
을 만족하면, ''f''를 ''X''에서 ''Y''로의 '''함수(function)'''라고 하고, <math>f:X\to Y</math>로 쓴다.<ref>[https://proofwiki.org/w/index.php?title=Definition:Function Definition:Function]. (2014, April 27). ''ProofWiki'', Retrieved 13:04, June 9, 2015.</ref>

대안적으로 다음과 같이 정의할 수도 있다. 이항관계 ''f''가 조건
: <math>(x,y_1)\in f</math>이고 <math>(x,y_2)\in f</math>이면 <math>y_1=y_2</math>이다.
를 만족하면 ''f''를 함수라 한다. 만약 <math>\operatorname{dom} f=X ,\operatorname{ran} f\subseteq Y</math>라면  <math>f: X \to Y</math>로 표기한다.<ref>Karel Hrbacek and Thomas Jech (1999). ''Introduction to Set Theory, Third Edition, Revised and Expanded''. CRC Press. ISBN 0824779150</ref>

{{각주}}

[[분류:집합론]]
[[분류:현대대수학]]
[[분류:추상대수학]]