하한위상

집합 [math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math]를

[math]\displaystyle{ \mathcal{B}=\{[a,b)\mid a,b\in\mathbb{R},a\lt b \} }[/math]

로 정의하면, [math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math]는 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] 위의 위상 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]의 기저이다. 이때 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]를 하한위상(lower limit topology) 또는 반열린구간위상(half-open interval topology)이라 하며, 위상공간 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}_l=(\mathbb{R},\mathcal{T}) }[/math]를 조르겐프라이 직선(Sorgenfrey line)이라 한다.

[math]\displaystyle{ \mathcal{B}=\{(a,b]\mid a,b\in\mathbb{R},a\lt b\} }[/math]는 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]의 위상 [math]\displaystyle{ \mathcal{T}' }[/math]의 기저가 되며, 이때 [math]\displaystyle{ (\mathbb{R},\mathcal{T}') }[/math]을 상한위상(upper limit topology)이라 한다.

성질

• 조르겐프라이 직선은 분리가능 공간이다.

Proof 가산집합인 유리수 집합 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]가 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}_l }[/math]에서 조밀집합임을 보인다. [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{R} }[/math]을 고르자. 그러면 [math]\displaystyle{ x }[/math]를 포함하는 임의의 열린집합 [math]\displaystyle{ O_x }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x\in [a_x,b_x)\subset O_x }[/math], [math]\displaystyle{ a_x \lt b_x }[/math] 인 [math]\displaystyle{ a_x,b_x\in \mathbb{R} }[/math]가 존재한다. [math]\displaystyle{ a_x\lt b_x }[/math]이므로 유리수의 조밀성에 의해 [math]\displaystyle{ r\in [a_x,b_x)\cap \mathbb{Q} }[/math]가 존재하고, 따라서 [math]\displaystyle{ x\in \overline{\mathbb{Q}} }[/math]이다. 이로부터 [math]\displaystyle{ \overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R} }[/math]이다.

• 조르겐프라이 직선은 제1가산공간이다.

Proof 각 [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{R} }[/math]에 대해 하한위상의 가산부분집합 [math]\displaystyle{ \mathcal{B}_a=\left\{\left[a,a+\frac{1}{n}\right)\mid n\in\mathbb{N}\right\} }[/math] 이 [math]\displaystyle{ a }[/math]의 부분기저가 됨을 보인다. 명백히 임의의 [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a\in [a,a+\frac{1}{n}) }[/math]이다. [math]\displaystyle{ O_a }[/math]를 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 포함하는 임의의 열린집합이라 하면, [math]\displaystyle{ a\in [\alpha_a,\beta_a)\subset O_a }[/math], [math]\displaystyle{ \alpha_a\lt \beta_a }[/math] 인 [math]\displaystyle{ \alpha_a,\beta_a\in\mathbb{R} }[/math]가 존재한다. 그러면 [math]\displaystyle{ \beta_a - a\gt 0 }[/math]이므로 아르키메데스 성질에 의해 [math]\displaystyle{ \frac{1}{n_0}\lt \beta_a-a }[/math]인 [math]\displaystyle{ n_0\in\mathbb{N} }[/math]가 존재한다. 그러면 [math]\displaystyle{ a\in [a,a+\frac{1}{n_0})\subset [\alpha_a,\beta_a)\subset O_a }[/math] 이므로 [math]\displaystyle{ O_a }[/math]는 [math]\displaystyle{ \mathcal{B}_a }[/math]의 원소를 포함한다.

• 조르겐프라이 직선은 제2가산공간이 아니다.

Proof [math]\displaystyle{ \mathbb{R}_l }[/math]의 한 기저를 [math]\displaystyle{ \mathcal{B}' }[/math]이라 하자. 임의의 [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{R} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ [x,\infty) }[/math]는 열린집합이고, 따라서 [math]\displaystyle{ \min B_x=x }[/math]인 [math]\displaystyle{ B_x\in \mathcal{B}' }[/math]가 존재한다. [math]\displaystyle{ x\ne y }[/math]이면 [math]\displaystyle{ B_x\ne B_y }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ |\mathbb{R}|\le|\{B_x:x\in\mathbb{R}\}|\le |\mathcal{B}'| }[/math] 이고 따라서 [math]\displaystyle{ \mathcal{B}' }[/math]는 비가산집합이다.

• 조르겐프라이 직선은 전비연결공간이다.

Proof [math]\displaystyle{ A }[/math]를 두 점 이상을 포함하는 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}_l }[/math]의 부분집합이라 하자. 서로 다른 [math]\displaystyle{ a,b\in A }[/math]를 고르면 일반성을 잃지 않고 [math]\displaystyle{ a\lt b }[/math]로 가정할 수 있다. [math]\displaystyle{ U=(-\infty,b) }[/math], [math]\displaystyle{ V=[b,\infty) }[/math] 로 정의하면 [math]\displaystyle{ U=\bigcup_{n=1}^{\infty}[b-n,b) }[/math], [math]\displaystyle{ V=\bigcup_{n=1}^{\infty}[b,b+n) }[/math] 이므로 [math]\displaystyle{ U,V }[/math]는 열린집합이다. 그리고 [math]\displaystyle{ a\in A\cap U }[/math], [math]\displaystyle{ b\in A\cap V }[/math], [math]\displaystyle{ A\cap U\cap V=\emptyset }[/math], [math]\displaystyle{ A\subset U\cup V }[/math] 이므로 [math]\displaystyle{ A }[/math]는 비연결집합이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}_l }[/math]의 임의의 연결성분은 한원소집합이므로 원하는 결론을 얻는다.

• 조르겐프라이 직선은 콤팩트공간이 아니다. 조르겐프라이 직선의 콤팩트 부분집합은 가산집합이다.
• 조르겐프라이 직선은 린델뢰프 공간이다.
• 조르겐프라이 직선은 정규공간이다.
• 조르겐프라이 직선은 거리화할 수 없다.

조르겐프라이 평면

곱공간 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}_l\times \mathbb{R}_l }[/math]를 조르겐프라이 평면(Sorgenfrey plane)이라고 한다.

• 조르겐프라이 평면은 정칙공간이지만 정규공간이 아니다.
• 조르겐프라이 평면은 분리가능 공간이다.
• 조르겐프라이 평면은 제1가산공간이다.
• 조르겐프라이 평면은 린델뢰프 공간이 아니다.