하한위상

집합 [math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math]를

[math]\displaystyle{ \mathcal{B}=\{[a,b)\mid a,b\in\mathbb{R},a\lt b \} }[/math]

로 정의하면, [math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math]는 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] 위의 위상 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]의 기저이다. 이때 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]를 하한위상(lower limit topology) 또는 반열린위상(half-open topology)이라 하며, 위상공간 [math]\displaystyle{ (\mathbb{R},\mathcal{T}) }[/math]를 조르겐프라이 직선(Sorgenfrey line)이라 한다.

[math]\displaystyle{ \mathcal{B}=\{(a,b]\mid a,b\in\mathbb{R},a\lt b\} }[/math]는 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]의 위상 [math]\displaystyle{ \mathcal{T}' }[/math]의 기저가 되며, 이때 [math]\displaystyle{ (\mathbb{R},\mathcal{T}') }[/math]을 상한위상(upper limit topology)이라 한다.

성질

• 조르겐프라이 직선은 분리가능 공간이다.
• 조르겐프라이 직선은 제1가산공간이다.
• 조르겐프라이 직선은 제2가산공간이 아니다.
• 조르겐프라이 직선은 연결공간이 아니다.
• 조르겐프라이 직선은 린델뢰프 공간이다.
• 조르겐프라이 직선은 정규공간이다.

조르겐프라이 평면

곱공간 [math]\displaystyle{ (\mathbb{R},\mathcal{T})\times (\mathbb{R},\mathcal{T}) }[/math]를 조르겐프라이 평면(Sorgenfrey plane)이라고 한다.

• 조르겐프라이 평면은 정칙공간이지만 정규공간이 아니다.
• 조르겐프라이 평면은 분리가능 공간이다.
• 조르겐프라이 평면은 제1가산공간이다.
• 조르겐프라이 평면은 린델뢰프 공간이 아니다.