피타고라스 소수

피타고라스 소수(Pythagorean prime)는 4로 나눈 나머지가 1인 소수이다.

이 형태의 소수는 두 자연수의 제곱의 합으로 나타낼 수 있다. 즉 이 소수의 제곱근은 피타고라스 정리에 의해 밑변 및 윗변의 길이가 자연수인 직각삼각형의 빗변의 길이로 표현할 수 있다.

가장 작은 피타고라스 소수들을 나열하면 아래와 같다.

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 109, 113, 137, 149, …

무한한 개수

디리클레 등차수열 정리에 따르면 피타고라스 소수의 개수는 무한함을 바로 알 수 있다. 물론 이 사실은 유클리드의 증명, 즉 모든 소수는 무한히 많다는 사실을 증명하는 방식과 비슷하게 이끌어낼 수도 있다.

먼저 피타고라스 소수의 개수가 유한하다고 가정하고 [math]\displaystyle{ A = \{p_1, p_2, \cdots p_k \} }[/math]가 그 유한한 목록이라 하자. 그 다음 [math]\displaystyle{ N=(2p_1p_2 \cdots p_k)^2+1 }[/math]이라 하면 주어진 어떤 소수로도 [math]\displaystyle{ N }[/math]을 나눌 수 없다.

그러므로 [math]\displaystyle{ N }[/math]은 위 목록에는 없는 새로운 소수를 약수로 갖는다. [math]\displaystyle{ p \mid N, p \not \in A }[/math]라 하면 [math]\displaystyle{ (2p_1p_2 \cdots p_k)^2 \equiv -1 \pmod p }[/math]이므로 -1은 법 [math]\displaystyle{ p }[/math]에 대한 이차잉여이다. [math]\displaystyle{ N }[/math]은 홀수이므로 [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \pmod 4 }[/math]이며, 마찬가지로 피타고라스 소수이다. 그런데 이는 집합 [math]\displaystyle{ A }[/math] 내에 들어있지 않으므로 모순이 발생한다.

따라서 피타고라스 소수는 무한히 존재한다.

두 자연수의 제곱의 합

짝수의 제곱과 홀수의 제곱의 합은 언제나 [math]\displaystyle{ 4k+1 (k \in \mathbb{N}) }[/math]의 꼴이다. 하지만 역으로 어떤 자연수가 [math]\displaystyle{ 4k+1 }[/math] 꼴이라고 해서 반드시 두 제곱수의 합으로 표현되지는 않으며, 반례로 21, 33 등이 있다.

물론 해당 자연수를 소수로 한정하면 역도 참이 된다. 모든 피타고라스 소수는 서로소인 두 자연수의 제곱의 합으로 나타낼 수 있으며, 그 순서쌍은 유일하다. 단, 두 수의 순서를 바꿔서 일치하는 순서쌍은 같은 것으로 간주한다. 존재성 증명은 페르마의 두 제곱수 정리 문서에 있다.

만약 [math]\displaystyle{ n=a^2+b^2=c^2+d^2, a, b, c, d \in \mathbb{N} }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \{a, b\} \neq \{c, d\} }[/math]이면 [math]\displaystyle{ n }[/math]은 합성수이다. 또, [math]\displaystyle{ \gcd(a, b)=1 \text{ or } \gcd(c, d)=1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ n }[/math]은 피타고라스 소수만을 소인수로 갖는다. 이러한 두 순서쌍을 찾아서 합성수를 소인수분해하는 방법이 바로 오일러 소인수분해법이다.

• 소수인 예: [math]\displaystyle{ 1997=34^2+29^2, 2017=44^2+9^2, 2029=2^2+45^2 }[/math]
• 피타고라스 소수의 곱: [math]\displaystyle{ 2005=5 \cdot 401=18^2+41^2=22^2+39^2, 2041=13 \cdot 157=4^2+45^2=40^2+21^2 }[/math]
• [math]\displaystyle{ k \geq 1 }[/math]일 때, 페르마 수 [math]\displaystyle{ F_k=2^{2^k}+1 }[/math]은 항상 피타고라스 소수이거나 이들을 소인수로 갖는다.

가우스 소수와의 관계

가우스 소수는 환 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}[i] }[/math]내에서의 곱셈 원소로, 통상적인 자연수 집합에서의 소수의 확장된 정의 중 하나이다.

피타고라스 소수는 실수가 아닌 가우스 소수들의 곱으로 표현할 수 있으며, 두 수는 켤레복소수 관계이다. 또, 가우스 소수의 절댓값의 제곱으로도 써진다.

[math]\displaystyle{ 5=(2+i)(2-i)=|2+i|^2, 13=(3+2i)(3-2i)=|3+2i|^2, 17=(4+i)(4-i)=|4+i|^2, \cdots }[/math]

피타고라스 수

모든 피타고라스 소수는 변의 길이가 모두 자연수인 직각삼각형의 빗변의 길이가 될 수 있다. 즉 피타고라스 수의 순서쌍 중 가장 큰 값에 해당한다.

만약 짧은 두 변의 길이가 서로소인 자연수이고 빗변의 길이도 자연수이면, 빗변의 길이는 피타고라스 소수이거나 이들의 곱으로 이루어져 있다.

[math]\displaystyle{ p=a^2+b^2=(a+bi)(a-bi) }[/math]의 양 변을 제곱하면

[math]\displaystyle{ p^2=(a+bi)^2(a-bi)^2=(a^2-b^2+2abi)(a^2-b^2-2abi)=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2 }[/math]

이며, 이는 세 변의 길이가 [math]\displaystyle{ (a^2-b^2, 2ab, a^2+b^2) }[/math]인 직각삼각형에 해당한다.

빗변의 길이가 소수인 피타고라스 수는 아래와 같다.

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (15, 8, 17), (20, 21, 29), (35, 12, 37), (9, 40, 41), (45, 28, 53), (11, 60, 61), (55, 48, 73), …