피어폰트 소수

피어폰트 소수(Pierpont prime)는 [math]\displaystyle{ p=2^m 3^n+1 }[/math]의 꼴로 표현되는 소수를 뜻한다. 여기서 [math]\displaystyle{ m, n }[/math]은 0 이상의 정수이다. 이름은 미국의 수학자인 제임스 피어폰트(James Pierpont)에서 유래하였다.

처음 피어폰트 소수는 아래와 같다.

• 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, … (OEIS의 수열 A005109)

특징

주어진 정의에서 [math]\displaystyle{ m \geq 1, n=0 }[/math]인 경우는 [math]\displaystyle{ p=2^m+1 }[/math]이다. 이 값이 소수이기 위한 필요조건은 [math]\displaystyle{ m=2^k }[/math] 꼴, 즉 밑이 2이고 지수가 0 이상의 정수가 되는 것이다. 이 경우 페르마 수가 된다. 다시 말해 페르마 소수는 피어폰트 소수의 부분집합이다.

현재까지 알려진 페르마 소수는 5개 뿐(3, 5, 17, 257, 65537)이고, [math]\displaystyle{ k \geq 5 }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ 2^{2^k}+1 }[/math]이 소수인 경우는 현재까지 하나도 발견되지 않았다. 페르마 소수의 경우 2의 지수 조건이 2의 거듭제곱이라는 조건이 걸려 있기에 [math]\displaystyle{ N\lt 10^{100} }[/math] 범위에서는 페르마 수가 단 9개 뿐이다.

하지만 피어폰트 소수는 [math]\displaystyle{ p=2^m 3^n+1 }[/math]에서 [math]\displaystyle{ m, n \geq 1 }[/math]이면 두 지수에는 특별한 까다로운 제약이 걸리지 않는다. 실제로 구골 이하에서는 피어폰트 소수가 795개나 되고, 지금까지 발견된 것만 수천 개에 이른다. 자연수 전체에서는 무한히 많을 것으로 추측하고 있다.

정다각형 작도

이와 관련한 내용은 작도 가능한 정다각형에서 볼 수 있습니다.

눈금 없는 자와 컴퍼스로 작도할 수 있는 정다각형은 변의 수가 2의 거듭제곱과 서로 다른 페르마 소수의 곱으로 이루어져 있어야 한다. 수식으로 표현하면 [math]\displaystyle{ N=2^{m}p_1p_2\cdots p_k }[/math]이며, 각 소수는 서로 다른 페르마 소수이다. 알려진 페르마 소수가 5개 뿐이기에 작도할 수 있는 변의 수가 홀수인 정다각형은 31개 뿐이다.

하지만 각의 삼등분이 가능한 도구를 포함하면 위 소수를 피어폰트 소수로 확장할 수 있고, 그에 따라 작도 가능한 정다각형도 많아진다. 이때 변의 수의 조건은 2의 거듭제곱, 3의 거듭제곱 및 서로 다른 피어폰트 소수의 곱으로 이루어져 있는 것이다. 각의 삼등분이 가능함에 따라 오일러 피 함수의 값은 2와 3만을 소인수로 가져야 하지 때문이다.

• [math]\displaystyle{ A= \{x|x=2^a 3^b, a, b \in \mathbb{N} \cup \{0\} \} }[/math]는 소인수가 2와 3뿐인 자연수들의 집합이다. 어떤 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]에 대해 아래 두 명제는 동치이다.
  • [math]\displaystyle{ \varphi(N) \in A }[/math]
  • [math]\displaystyle{ N=2^{m}3^{n}p_1p_2\cdots p_k, \varphi(p_j) \in A, i \neq j \Leftrightarrow p_i \neq p_j }[/math]
• 후자에서 전자로는 쉽게 증명할 수 있다. [math]\displaystyle{ x, y \in A }[/math]이면 [math]\displaystyle{ xy \in A }[/math]도 성립함을 이용한다. 전자에서 후자로는 아래와 같이 증명한다.
• 증명: [math]\displaystyle{ N=2^m 3^n p_1^{r_1}p_2^{r_2}\cdots p_k^{r_k} }[/math] 꼴로 소인수분해가 된다고 하자. [math]\displaystyle{ p_j }[/math]는 서로 다른 5 이상의 소수이다. 오일러 피 함수의 값은 [math]\displaystyle{ \varphi(N)=\varphi(2^m3^n) \prod_{j=1}^{k}\varphi(p_j^{r_j})=2^m3^{n-1}\prod_{j=1}^{k}(p_j-1)p_j^{r_j-1} }[/math]이다. 이것이 2와 3만을 소인수로 가지려면 5 이상의 소수 [math]\displaystyle{ p_j }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ r_j=1 }[/math]이어야 한다. 또, [math]\displaystyle{ p_j-1 \in A }[/math]도 만족한다. 그러면 [math]\displaystyle{ p_j=2^{m_j}3^{n_j}+1 }[/math]의 꼴로 써지며 이는 곧 피어폰트 소수임을 뜻한다. 그리고 각 소수들의 지수는 모두 1이므로, [math]\displaystyle{ N=2^{m}3^{n}p_1p_2\cdots p_k }[/math]와 같이 정리된다.

일반 작도로는 그릴 수 없지만 각의 삼등분기를 동원하면 작도가 되는 정다각형은 변의 수가 9의 배수이거나 페르마 소수가 아닌 피어폰트 소수를 인수로 가지는 것들이다.

• 피어폰트 소수: 정칠각형, 정십삼각형, 정십구각형 등. 7의 두 배인 정십사각형도 작도할 수 있다.
• 9의 배수: 정구각형, 정십팔각형, 정이십칠각형 등
• 하지만 정십일각형은 여전히 작도할 수 없으며, 이는 각의 삼등분으로 작도할 수 없는 정다각형 중 변의 수가 가장 적다.

알려진 가장 큰 소수

아래는 2022년 8월 2일까지 발견된 100만 자리 이상의 피어폰트 소수들이다. 보통 프로트의 정리로 소수 여부를 규명해낸다.

#	소수	자릿수	발견 연도
1	[math]\displaystyle{ 3 \cdot 2^{16408818}+1 }[/math]	4939547	2020
2	[math]\displaystyle{ 3^2 \cdot 2^{13334487}+1 }[/math]	4014082	2020
3	[math]\displaystyle{ 3^2 \cdot 2^{12406887}+1 }[/math]	3734847	2020
4	[math]\displaystyle{ 3^3 \cdot 2^{12184319}+1 }[/math]	3667847	2021
5	[math]\displaystyle{ 3^2 \cdot 2^{11500843}+1 }[/math]	3462100	2020
6	[math]\displaystyle{ 3^2 \cdot 2^{11366286}+1 }[/math]	3421594	2020
7	[math]\displaystyle{ 3^2 \cdot 2^{11158963}+1 }[/math]	3359184	2020
8	[math]\displaystyle{ 3^2 \cdot 2^{9778263}+1 }[/math]	2943552	2020
9	[math]\displaystyle{ 2 \cdot 3^{5570081}+1 }[/math]	2657605	2020
10	[math]\displaystyle{ 3^3 \cdot 2^{7963247}+1 }[/math]	2397178	2021
11	[math]\displaystyle{ 3^3 \cdot 2^{7046834}+1 }[/math]	2121310	2018
12	[math]\displaystyle{ 3 \cdot 2^{7033641}+1 }[/math]	2117338	2011
13	[math]\displaystyle{ 2 \cdot 3^{3648969}+1 }[/math]	1741001	2020
14	[math]\displaystyle{ 3^2 \cdot 2^{5642513}+1 }[/math]	1698567	2013
15	[math]\displaystyle{ 3^3 \cdot 2^{5213635}+1 }[/math]	1569462	2015
16	[math]\displaystyle{ 3 \cdot 2^{5082306}+1 }[/math]	1529928	2009
17	[math]\displaystyle{ 2 \cdot 3^{3123036}+1 }[/math]	1490068	2020
18	[math]\displaystyle{ 3^2 \cdot 2^{3497442}+1 }[/math]	1052836	2012
19	[math]\displaystyle{ 2^2 \cdot 3^{2143374}+1 }[/math]	1022650	2020
20	[math]\displaystyle{ 3^4 \cdot 2^{3352924}+1 }[/math]	1009333	2012

같이 보기

• 페르마 수
• 프로트 소수
• 작도 가능한 정다각형