정의
함수 \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\)가 \([a,b]\)에서 적분가능하고 \(b-a=L\)이라고 하자. 이때
- [math]\displaystyle{ \hat{f}(n)=\frac{1}{L}\int_a^b f(x)\exp\left(-\frac{2\pi inx}{L}\right)dx }[/math]
를 \(f\)의 n번째 푸리에 계수(Fourier coefficient)라고 하고
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n)\exp\left(\frac{2\pi inx}{L}\right) }[/math]
를 \(f\)의 푸리에 급수(Fourier series)라고 한다.
예시
\(f:[-\pi, \pi]\to \mathbb{R}\)이 \(f(x)=x\)로 정의되었다고 하자. 그러면
- [math]\displaystyle{ \hat{f}(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xdx=0 }[/math]
이고 \(n\ne 0\)일 때
- [math]\displaystyle{ \begin{align} \hat{f}(n)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} xe^{-inx}dx\\ &=\frac{1}{2\pi}\left(\left[-\frac{1}{in}xe^{-inx}\right]_{-\pi}^{\pi}+\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{in}e^{-inx}dx\right)\\ &=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{2\pi(-1)^{n+1}}{in}+\left[\frac{1}{n^2} e^{inx}\right]_{-\pi}^{\pi}\right)\\ &=\frac{(-1)^{n+1}}{in} \end{align} }[/math]
이므로 \(f\)의 푸리에 급수는
- [math]\displaystyle{ \begin{align} \sum_{n\ne 0}\frac{(-1)^{n+1}}{in}e^{inx}&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{in}e^{inx}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{-n+1}}{in}e^{-inx}\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}2\frac{(-1)^{n+1}}{n}\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}\\ &=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\sin nx}{n} \end{align} }[/math]
이다.
같이 보기
참고 문헌
- Stein, E., & Shakarchi, R. (2003). Fourier analysis an introduction. Princeton: Princeton University Press. ISBN 069111384X