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퐁슬레-슈타이너 정리

Fmbus3355 (토론 | 기여)님의 2022년 3월 21일 (월) 13:52 판

퐁슬레ㆍ슈타이너의 정리(Poncelet-Steiner의定理 , 프랑스어: Théorème de Poncelet-Steiner, 독일어: Satz von Poncelet-Steiner, -定理)는 유클리드 원론 및 기하학의 작도 문제에 대한 정리이다. 프랑스 수학자 장 빅토르 퐁슬레(Poncelet, Jean Victor)와 스위스의 수학자 야코프 슈타이너(Jakob Steiner)의 이름이 붙어 있다. 이 정리의 주요한 맥락(context)은 '눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 작도 가능한 모든 도형은 임의의 주어진 원 하나로부터 그 중심에 대한 정보에 이르기까지 눈금 없는 자만으로는 불가능하다.'는 내용이다. 실측에서 실이나 (먹)줄은 (눈금없는)자의 훌륭한 드로윙(drawing)의 예이다.

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It's impossible to find the center of a given circle with the straightedge alone.

직선자만으로는 주어진 원의 중심을 찾는 것이 불가능했습니다.
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— 장 빅토르 퐁슬레(Poncelet, Jean Victor)와 야코프 슈타이너(Jakob Steiner)

이 정리의 조건에서 원과 그 중심(선 또는 점)에 대한 작도 가능성은 눈금없는 자로만 작도하는데 있어서 필수적인 증명 문제이다. 이 정리는 1822년 퐁슬레가 추측하였고, 1833년 슈타이너가 증명하였다.[1]

증명을 위해서는 기본 작도를 구현하는 유클리드 원론의 3 공준(postulates)을 다룬다.

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i. A right line may be drawn from any one point to any other point.

공준 1. 임의의 점에서 임의의 점 사이로 직선을 그을 수 있다.

ii. A terminated right line may be produced to any length in a right line.

공준 2. 임의의 선분을 무한히 연장해서 그을 수 있다.

iii. A circle may be described from any centre, and with any distance from that centre as radius.

공준 3. 임의의 점을 중심으로 특정한 반지름을 갖는 원을 그릴 수 있다.
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— 유클리드 원론 , 존 게이시 1885

이슈

퐁슬레-슈타이너 정리는 유클리드 제3공준으로부터 제안되는 '임의의 점을 중심으로 특정한 반지름을 갖는 원을 그릴 수 있다.'(iii. A circle may be described from any centre, and with any distance from that centre as radius.)는 작도 사실을 역으로 증명하는데 많은 접근을 하였지만 성공하지는 못했다. 퐁슬레-슈타이너 정리는 주어진 원으로부터 중심선을 작도하지는 못했다. 현재까지는 인접하는 두 원으로부터 중심선을 찾는데에는 성공하였다고 알려져있다.

모르-마스케로니 정리

퐁슬레ㆍ슈타이너의 정리와는 다르게 컴퍼스만으로 작도하는 경우는 모르-마스케로니 정리(Mohr-Mascheroni theorem定理)로 주어지는데, 보다 일찍 덴마크의 수학자 모르(Mohr, G.)와 이탈리아의 수학자 마스케로니(Mascheroni, L.)가 조사하였다. 이후 카우어(Cauer),그램(Gram)등의 수학자들이 인접하는 두 원으로부터 중심선을 찾거나 인접하지 않는 두 원으로부터 중심선을 찾는 시도를 하였다.

관련항목

각주

  1. ↑ [참고]Die geometrischen Konstructionen: ausgeführt mittelst der geraden Linie und eines festen Kreises, als Lehrgegenstand auf höheren Unterrichts-Anstalten und zur praktischen Benutzung ,Jacob Steiner,Dümmler, 1833 -https://books.google.co.kr/books?id=xHc1T1W-ZXUC&redir_esc=y