틀:학술 관련 정보 틀:토막글 평균값 정리(Mean value theorem, MVT)는 미분가능한 함수의 그래프의 두 점을 이었을 때, 두 점 사이의 다른 점이 존재하여 그 점에서 접선의 기울기가 두 점을 이은 직선의 기울기와 같다는 명제다.
진술
실수 [math]\displaystyle{ a,b\;(a\lt b) }[/math]에 대해, 함수 [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to\mathbb{R} }[/math]가 닫힌 구간 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 연속이고 열린 구간 [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]에서 미분가능하면,
- [math]\displaystyle{ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) }[/math]
인 [math]\displaystyle{ c\in(a,b) }[/math]가 존재한다.
증명
[math]\displaystyle{ g(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) }[/math] 라고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ g(a) = 0, g(b) = 0 }[/math]이라서 롤의 정리를 적용해 [math]\displaystyle{ g'(c) = 0 = f'(c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math]인 [math]\displaystyle{ c }[/math]를 찾을 수 있다. 그러면 [math]\displaystyle{ f'(c)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math]. 롤의 정리가 캐리해서 짧아진 증명