평각 정리 편집하기



== 개요 ==
[[절대 기하학]]의 한 정리로, 평각(=180°)에 관해 다루기 때문에 반드시 알아야 하는 정리이다. 파슈의 공리와 마찬가지로 공리로써 받아들이는 경우도 있지만, 일반적인 절대 기하학의 공리 체계에서는 증명이 가능한 명제로서 등장한다. 본격적인 정리에 들어가기 전에, 몇 가지 정의를 짚고 넘어가자.
#두 각 <math>\angle{BAD},\,\angle{DAC}</math>에 대해, 두 반직선 <math>\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC}</math>가 서로 반대<ref><math>\overrightarrow{AB}\neq\overrightarrow{AC}</math>이지만 <math>\overleftrightarrow{AB}=\overleftrightarrow{AC}</math>인 경우</ref>라면, 이 두 각은 '''선형 쌍(Linear pair)'''를 이룬다고 한다.
#앞서 말했듯이, 평각=180°
#두 각의 합이 평각이면, 두 각은 '''보각(Supplementary)''' 관계에 있다고 한다.

평각 정리란, 두 각이 선형 쌍을 이루면 두 각은 보각 관계라는 내용이다. 직관적으로 생각하면 굉장히 당연하지만, 그것을 증명하는 것은 별개의 문제. 증명에 앞서, 한 가지 보조 정리를 알고 넘어가자.

== 보조 정리 ==
[[파일:평각 보조 정리.png]]
<br />
{{^|명제}}
<math>C*A*B</math>이고, <math>D</math>가 <math>\angle{BAE}</math>의 내부에 있으면, <math>E</math>는 <math>\angle{DAC}</math> 내부에 존재한다.

{{^|증명}}
<math>E</math>가 <math>\angle{DAC}</math>에 존재한다는 것을 보이려면, <math>E</math>와 <math>D</math>가 <math>\overleftrightarrow{AC}</math>를 기준으로 같은 반평면에 있고, <math>E</math>와 <math>C</math>가 <math>\overleftrightarrow{AD}</math>를 기준으로 같은 반평면에 있다는 것을 보이면 된다.

<math>D</math>가 <math>\angle{BAE}</math> 내부에 존재하므로, <math>E</math>와 <math>D</math>가 <math>\overleftrightarrow{AB}</math>를 기준으로 같은 반평면에 있다. 그런데 <math>C*A*B</math>이므로, <math>\overleftrightarrow{AB}=\overleftrightarrow{AC}</math>. 또한, [[크로스바 정리]]에 의해 <math>\overrightarrow{AD}</math>는 <math>\overline{BE}</math>와 만난다. 따라서, <math>E</math>와 <math>B</math>는 <math>\overleftrightarrow{AD}</math>를 기준으로 반대 반평면에 속해있다 (평면 분할). 그런데 <math>C*A*B</math>이므로, <math>C</math>와 <math>B</math> 역시 <math>\overleftrightarrow{AD}</math>를 기준으로 반대 반평면에 속해있다. 따라서, <math>E</math>와 <math>C</math>는 <math>\overleftrightarrow{AD}</math>를 기준으로 같은 반평면에 속해있다.

== 평각 정리 ==
{{^|명제}}
<math>\angle{BAD}</math>와 <math>\angle{DAC}</math>가 선형 쌍을 이루면, <math>\angle{BAD}+\angle{DAC}=180</math>이다.

{{^|증명}}
<math>\angle{BAD}</math>와 <math>\angle{DAC}</math>가 선형 쌍을 이루기 때문에, <math>\overrightarrow{AB}</math>와 <math>\overrightarrow{AC}</math>는 서로 반대이다. 먼저, 증명을 간단히 하기 위해 <math>\angle{BAD}=\alpha</math>, <math>\angle{DAC}=\beta</math>라고 가정하자. 삼분법칙에 의해, <math>\alpha+\beta</math>는 180보다 작거나, 같거나, 크다.

[[파일:평각 정리 증명 1.png|thumb|center||<math>\alpha+\beta<180</math>인 경우]]
<br />
먼저, <math>\alpha+\beta<180</math>이라고 가정하자. 그럼, 각도 작도 공준에 의해 <math>\overleftrightarrow{AB}</math>를 기준으로 <math>D</math>와 같은 반평면에 속해있고, <math>\angle{BAE}=\alpha+\beta</math>인 점 <math>E</math>가 존재한다. 그러면 반직선 사이 정리에 의해, <math>D</math>는 <math>\angle{BAE}</math>의 내부에 존재한다. 따라서, 각도 합 공준에 의해 <math>\angle{BAD}+\angle{DAE}=\angle{BAE}</math>이고, <math>\angle{DAE}=\beta</math>임을 알 수 있다. 한편, 위 보조 정리에 의해 <math>E</math>는 <math>\angle{DAC}</math>의 내부에 존재한다. 따라서, 각도 합 공준에 의해 <math>\angle{DAE}+\angle{EAC}=\angle{DAC}</math>. 곧, <math>\angle{EAC}=0</math>이고, 이는 각도 공준에 모순이다. 따라서 <math>\alpha+\beta<180</math>일 수 없다.

[[파일:평각 정리 증명 2.png|thumb|center||<math>\alpha+\beta>180</math>인 경우]]
<br />
이제, <math>\alpha+\beta>180</math>이라 가정하자. 그럼, 각도 작도 공준에 의해 <math>\overleftrightarrow{AB}</math>를 기준으로 <math>D</math>와 같은 반평면에 속해있고, <math>\angle{BAF}=\alpha+\beta-180</math>인 점 <math>F</math>가 존재한다. 그러면 반직선 사이 정리에 의해, <math>F</math>는 <math>\angle{BAD}</math>의 내부에 존재한다. 따라서, 각도 합 공준에 의해 <math>\angle{BAF}+\angle{FAD}=\angle{BAD}</math>이고, <math>\angle{FAD}=180-\beta</math>임을 알 수 있다. 한편, 위 보조 정리에 의해 <math>D</math>는 <math>\angle{FAC}</math>의 내부에 존재한다. 따라서, 각도 합 공준에 의해 <math>\angle{FAD}+\angle{DAC}=\angle{FAC}</math>. 곧, <math>\angle{FAC}=180</math>이고, 이는 각도 공준에 모순이다. 따라서 <math>\alpha+\beta>180</math>일 수 없다.

삼분법칙에 의해, 가능한 경우는 <math>\alpha+\beta=180</math>인 경우 뿐이다.

{{각주}}
[[분류:절대 기하학]]