파이겐바움 상수

파이겐바움 상수(Feigenbaum constant)는 혼돈 이론에서 로지스틱 사상의 주기 배증 현상과 관련 있는 두 상수를 말한다. 이름은 미첼 파이겐바움에서 따왔다.

첫 번째 상수

이와 관련한 내용은 로지스틱 사상에서 볼 수 있습니다.

로지스틱 사상을 나타내는 식 [math]\displaystyle{ x_{n+1}=4\lambda x_n(1-x_n)\ (0\lt x, \lambda \lt 1) }[/math]에서 [math]\displaystyle{ x_n }[/math]은 고정된 값에 수렴하거나 여러 특정한 값 주변을 맴돌면서 진동한다. [math]\displaystyle{ x_n }[/math]의 수렴/진동 양상은 [math]\displaystyle{ f(x)=4\lambda x(1-x) }[/math]에서 매개변수 [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]의 값에 따라 달라진다.

• [math]\displaystyle{ 0\lt \lambda \lt 0.25 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_n=0 }[/math]이다.
• [math]\displaystyle{ 0.25\lt \lambda \lt 0.75 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math]의 양의 실근이 하나 존재하고 [math]\displaystyle{ x_n }[/math]은 그 값에 수렴한다. 이 상황을 진동 주기 1로 간주한다.
• [math]\displaystyle{ 0.75\lt \lambda \lt 0.8624 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ x_n }[/math]은 [math]\displaystyle{ f(f(x))=x }[/math]의 양의 실근 중 두 값을 두고 진동한다. 진동 주기는 2이다.
• [math]\displaystyle{ 0.8624\lt \lambda \lt 0.8660 }[/math]이면 진동 주기는 4가 된다. 진동의 기준점들은 [math]\displaystyle{ f(f(f(f(x))))=x }[/math]를 만족한다.
• 이렇게 [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]의 값을 0.8925에 근접하게 올리면 주기는 각 임곗값에서 주기가 두 배로 늘어난다. 이것이 주기 배증 현상(bifurcation)이다.
• [math]\displaystyle{ 0.8925\lt \lambda\lt 1 }[/math]에서는 일반적으로 [math]\displaystyle{ x_n }[/math]의 진동이 불규칙해진다. 즉 주기성이 없는 진동이 되어 혼돈 상태가 된다.

이렇게 해서 진동 주기가 [math]\displaystyle{ 2^n: 1, 2, 4, \cdots }[/math]가 되게 하는 [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]의 각 구간의 하한값을 [math]\displaystyle{ \lambda_0, \lambda_1, \lambda_2, \cdots }[/math]라 하면, 각 구간의 길이의 비는 특정 값에 수렴하며 이것이 첫 번째 파이겐바움 상수이다. 즉

[math]\displaystyle{ \delta=\lim_{n \to \infty} \frac{\lambda_{n+1}-\lambda_n}{\lambda_{n+2}-\lambda_{n+1}} \approx 4.66920160910299067185 }[/math]

두 번째 상수

위 문단에서 정의한 함수 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]는 구간 [math]\displaystyle{ (0, 1) }[/math]에서 대칭이며 [math]\displaystyle{ f^{2^n}(x) }[/math]는 미분 가능하기에, 대칭의 중앙인 [math]\displaystyle{ x=0.5 }[/math]에서 미분계수는 0이다. 주기 진동의 기준점이 0.5를 포함한다면 이 진동은 꽤 안정적이다.

주기 진동이 [math]\displaystyle{ 2^n: 2, 4, 8, \cdots }[/math]인 구간들에 대해, 이러한 조건을 만족하는 [math]\displaystyle{ \lambda=a_n }[/math]이 각각 존재한다. 이때 주기 진동의 기준점들 중 0.5를 제외하고 0.5와 가장 가까운 값을 찾을 수 있다. 이 값과 0.5 사이의 차이를 [math]\displaystyle{ d_n }[/math]이라 할 때, 이 값들을 나열하면 각 항 사이의 비 역시 수렴한다. 이 값이 두 번째 파이겐바움 상수이다. 즉

[math]\displaystyle{ \alpha=\lim_{n \to \infty} \frac{d_n}{d_{n+1}} \approx 2.50290787509589282228 }[/math]