파이겐바움 상수 편집하기

'''파이겐바움 상수'''(Feigenbaum constant)는 [[혼돈 이론]]에서 [[로지스틱 사상]]의 주기 배증 현상과 관련 있는 두 상수를 말한다. 이름은 [[미첼 파이겐바움]]에서 따왔다.

== 첫 번째 상수 ==
{{참고|로지스틱 사상}}
로지스틱 사상을 나타내는 식 <math>x_{n+1}=4\lambda x_n(1-x_n)\ (0< x, \lambda < 1)</math>에서 <math>x_n</math>은 고정된 값에 수렴하거나 여러 특정한 값 주변을 맴돌면서 진동한다. <math>x_n</math>의 수렴/진동 양상은 <math>f(x)=4\lambda x(1-x)</math>에서 매개변수 <math>\lambda</math>의 값에 따라 달라진다.

* <math>0< \lambda <0.25</math>이면 <math>\lim_{n \to \infty} x_n=0</math>이다.
* <math>0.25< \lambda <0.75</math>이면 <math>f(x)=x</math>의 양의 실근이 하나 존재하고 <math>x_n</math>은 그 값에 수렴한다. 이 상황을 '''진동 주기 1'''로 간주한다.
* <math>0.75< \lambda <0.8624</math><ref>상한값은 정확히는 <math>\frac{1+\sqrt{6}}{4}</math>이다. 주기가 커질수록 구간의 경곗값이 정확한 표현으로 쓰기 곤란해지므로 편의상 근삿값으로 표기.</ref>이면 <math>x_n</math>은 <math>f(f(x))=x</math>의 양의 실근 중 두 값을 두고 진동한다. 진동 주기는 2이다.
* <math>0.8624< \lambda <0.8660</math>이면 진동 주기는 4가 된다. 진동의 기준점들은 <math>f(f(f(f(x))))=x</math>를 만족한다.
* 이렇게 <math>\lambda</math>의 값을 0.8925에 근접하게 올리면 주기는 각 임곗값에서 주기가 두 배로 늘어난다. 이것이 주기 배증 현상(bifurcation)이다.
* <math>0.8925<\lambda<1</math>에서는 일반적으로 <math>x_n</math>의 진동이 불규칙해진다. 즉 주기성이 없는 진동이 되어 혼돈 상태가 된다.<ref>물론 구간 내 모든 값에서 비주기 진동이 일어나는 것은 아니고, 주기성이 있는 아주 짧은 구간이 군데군데 존재한다.</ref>

이렇게 해서 진동 주기가 <math>2^n: 1, 2, 4, \cdots</math>가 되게 하는 <math>\lambda</math>의 각 구간의 하한값을 <math>\lambda_0, \lambda_1, \lambda_2, \cdots</math>라 하면, 각 구간의 길이의 비는 특정 값에 수렴하며 이것이 첫 번째 파이겐바움 상수이다. 즉

:<math>\delta=\lim_{n \to \infty} \frac{\lambda_{n+1}-\lambda_n}{\lambda_{n+2}-\lambda_{n+1}} \approx 4.66920160910299067185</math>

== 두 번째 상수 ==
위 문단에서 정의한 함수 <math>f(x)</math>는 구간 <math>(0, 1)</math>에서 대칭이며 <math>f^{2^n}(x)</math><ref>주어진 함수를 <math>2^n</math>번 합성한 함수</ref>는 미분 가능하기에, 대칭의 중앙인 <math>x=0.5</math>에서 미분계수는 0이다. 주기 진동의 기준점이 0.5를 포함한다면 이 진동은 꽤 안정적이다.

주기 진동이 <math>2^n: 2, 4, 8, \cdots</math>인 구간들에 대해, 이러한 조건을 만족하는 <math>\lambda=a_n</math>이 각각 존재한다. 이때 주기 진동의 기준점들 중 0.5를 제외하고 0.5와 가장 가까운 값을 찾을 수 있다. 이 값과 0.5 사이의 차이를 <math>d_n</math>이라 할 때, 이 값들을 나열하면 각 항 사이의 비 역시 수렴한다. 이 값이 두 번째 파이겐바움 상수이다. 즉

:<math>\alpha=\lim_{n \to \infty} \frac{d_n}{d_{n+1}} \approx 2.50290787509589282228</math>

{{각주}}
{{수}}
[[분류:수]]