개요
정리는 그리스의 천문학자 겸 수학자 프톨레마이오스(Claudius Ptolemaeus)의 이름을 따서 명명되었다. 그런데 어째서인지 한국에선 "프톨레마이오스의 정리" 보다는 영어식 발음인 "톨레미의 정리"라는 이름으로 더 많이 알려져 있다. 톨레미의 정리는 원에 내접하는 사각형에 관한 것이며, 삼각형의 닮음과 원의 성질만 배우면 바로 증명이 가능할 정도로 간단하며, 프톨레마이오스는 정리를 자신의 화음표, 즉 천문학에 응용한 삼각측량표를 만드는 데 도움이 되는 것으로 사용했다. 하지만 한국의 수학 교육과정에서는 가르치지 않고 수학 경시대회를 준비한다면 학원 같은 곳에서 배우게 된다. 하지만 비단 수학 경시대회가 아니더라도 이 톨레미의 정리는 알아놓으면 고등학교 때까지도 잘만 써먹는다.
유클리드 기하학에서 프톨레마이오스의 정리는 순환 사각형(정점이 공통 원 위에 놓여 있는 사각형)에서의 점 사이의 관계다. 만약 순환 4각형의 정점이 순서대로 A, B, C, D라면 정리는 다음과 같이 표현된다. [math]\displaystyle{ |\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|=|\overline{AB}|\cdot |\overline{CD}|+|\overline{BC}|\cdot |\overline{AD}| }[/math] 기하학에서, 위의 등식은 간단히 다음과 같이 쓰여지는데, [math]\displaystyle{ AC\cdot BD = AB\cdot CD+BC \cdot AD }[/math] 이 관계는 다음과 같이 표현할 수 있다. “만약 사각형이 원 안에 내접한다면, 대각선의 측정 결과는 반대편 쌍의 측정 결과의 합과 같다”
정리
원에 내접하는 사각형에서, [math]\displaystyle{ \overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC}=\overline{AC}\cdot\overline{BD} }[/math]이 성립한다. 다른 말로 표현하자면, 내접사각형의 두 대각선 길이의 곱은 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합이다.
삼각형의 닮음을 이용한 증명
[math]\displaystyle{ \angle{CAD}=\angle{BAP} }[/math]가 되게 대각선 [math]\displaystyle{ \overline{BD} }[/math]위에 점 [math]\displaystyle{ P }[/math]를 잡는다. 또한, 원주 [math]\displaystyle{ \overarc{AD} }[/math]에 대한 원주각에 의해 [math]\displaystyle{ \angle{ABP}=\angle{ACD} }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \therefore\triangle{ABP}\sim\triangle{ACD} }[/math] (AA 닮음). 변의 비를 구하면, [math]\displaystyle{ \overline{AB}:\overline{BP}=\overline{AC}:\overline{CD} }[/math]이고, 따라서 [math]\displaystyle{ \overline{AB}\cdot\overline{CD}=\overline{AC}\cdot\overline{BP}\quad\cdots\left(1\right) }[/math] 이제 [math]\displaystyle{ \angle{BAC}=\angle{PAD} }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \angle{BCA}=\angle{BDA} }[/math] (원주 [math]\displaystyle{ \overarc{AB} }[/math]에 대한 원주각)이므로 [math]\displaystyle{ \triangle{ABC}\sim\triangle{APD} }[/math] (AA 닮음). 변의 비를 구하면, [math]\displaystyle{ \overline{AC}:\overline{BC}=\overline{AD}:\overline{PD} }[/math]이고, 따라서 [math]\displaystyle{ \overline{BC}\cdot\overline{AD}=\overline{AC}\cdot\overline{PD}\quad\cdots\left(2\right) }[/math]. 1번식과 2번식을 변끼리 더하면, [math]\displaystyle{ \overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC}=\overline{AC}\left(\overline{BP}+\overline{PD}\right)=\overline{AC}\cdot\overline{BD} }[/math].
삼각함수의 덧셈정리를 이용한 증명
AB, BC, CD에 대하여 마주보는 각을 각각 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], [math]\displaystyle{ \beta }[/math], [math]\displaystyle{ \gamma }[/math]라고 하고, 원의 반지름은 R이라고 하면, [math]\displaystyle{ AB=2R\sin\alpha }[/math], [math]\displaystyle{ BC=2R\sin\beta }[/math], [math]\displaystyle{ CD=2R\sin\gamma }[/math], [math]\displaystyle{ AD=2R\sin(180-(\alpha+\beta+\gamma)) }[/math], [math]\displaystyle{ AC=2R\sin(\alpha+\beta) }[/math] 와 [math]\displaystyle{ BD=2R\sin(\beta+\gamma) }[/math]이 성립하며, 준 식을 다음과 같은 식으로 만들수 있다. [math]\displaystyle{ \sin(\alpha+\beta)\sin(\beta+\gamma) = \sin\alpha\sin\gamma + \sin\beta \sin(\alpha + \beta+\gamma) }[/math] 여기서 계수 [math]\displaystyle{ 4R^2 }[/math]는 방정식의 양쪽에 나누어서 사라졌다. 삼각함수 덧셈정리를 사용하면 위의 식은 : [math]\displaystyle{ \begin{align}&\sin\alpha\sin\beta\cos\beta\cos\gamma+\sin\alpha\cos^2\beta\sin\gamma\\+{}&\cos\alpha\sin^2\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\beta\cos\beta\sin\gamma. \end{align} }[/math]이고, 이를 정리하면 [math]\displaystyle{ \sin(\alpha+\beta)\sin(\beta+\gamma) = \sin\alpha\sin\gamma + \sin\beta \sin(\alpha + \beta+\gamma) }[/math]이 된다.
톨레미의 정리의 역
볼록사각형에서 두 쌍의 대변의 곱의 합이 두 대각선의 곱과 같으면 그 사각형은 원에 내접한다. 즉, [math]\displaystyle{ \overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC}=\overline{AC}\cdot\overline{BD} }[/math]이 성립하면 [math]\displaystyle{ A,B,C,D }[/math]는 공원점이다.
증명
[math]\displaystyle{ \angle{BCE}=\angle{ACD},\,\angle{EBC}=\angle{DAC} }[/math]가 되게 점 [math]\displaystyle{ E }[/math]를 사각형 내부에 잡는다. 그러면 [math]\displaystyle{ \triangle{BCE}\sim\triangle{ACD} }[/math](AA 닮음)이다. 따라서,
[math]\displaystyle{ \overline{AD}\cdot\overline{BC}=\overline{AC}\cdot\overline{BE}\quad\cdots1 }[/math]
또한, [math]\displaystyle{ \overline{EC}:\overline{BC}=\overline{DC}:\overline{AC} }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \angle{ECD}=\angle{ACB} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \triangle{DCE}\sim\triangle{ABC} }[/math](SAS 닮음)이다. 따라서,
[math]\displaystyle{ \overline{AB}\cdot\overline{DC}=\overline{AC}\cdot\overline{DE}\quad\cdots2 }[/math]이고,
[math]\displaystyle{ \angle{CDE}=\angle{CAB}\quad\cdots3 }[/math].
1번과 2번 식을 변끼리 더하면 [math]\displaystyle{ \overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC}=\overline{AC}\left(\overline{BE}+\overline{DE}\right) }[/math]이다. 이 식을 처음 가정과 비교하면, [math]\displaystyle{ \overline{BE}+\overline{DE}=\overline{BD} }[/math]이고, 따라서 [math]\displaystyle{ B,E,D }[/math]는 공선점이다. 또한, 3번 식으로 부터, [math]\displaystyle{ \angle{CDB}=\angle{CAB} }[/math]이다. 원주각이 성립하므로, [math]\displaystyle{ A,B,C,D }[/math]는 공원점이다.
톨레미의 부등식
프톨레마이오스 정리의 방정식은 비순환 사변형에서는 절대 적용되지 않는다. 톨레미의 부등식은 이 사실의 확장이며, 프톨레마이오스의 정리의보다 일반적인 형태이다. 그러나 임의의 사각형에서,[math]\displaystyle{ \overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC}\geq\overline{AC}\cdot\overline{BD} }[/math]가 성립한다. 등호가 성립할 필요충분조건은 사각형이 원에 내접할 때. 그런데 신기한 것은, 이 톨레미의 부등식은 평면 뿐만이 아니라 모든 차원의 사각형에 대해 성립한다. 여기서 등호가 성립한다면 톨레미의 정리의 역이 성립한다는 뜻이고, 따라서 네 점은 공원점이다. 역으로 네 점이 한 원 위에 있으면 톨레미의 정리로 부터 등호가 성립한다.