토론:부분군 판정법 편집하기

== 유한군의 부분군 판정법에 관해 ==
<math>a \in H</math>이겠죠? 그리고 ''e''<sub>''G''</sub>가 ''H''에 있는지 아직 모르는 거 아닌가요~

그냥 ''a''를 왼쪽에 곱하는 함수 <math>\lambda_a</math>가 ''H''의 원소를 permute하므로(∵ 곱셈에 대해 닫혀 있고, 유한집합임), <math>\left(\lambda_a\right)^{-1} a \in H</math>가 ''e''<sub>''G''</sub>이고, <math>\left(\lambda_a\right)^{-1} e_G \in H</math>가 ''a''의 역원이라고 하면 안 되나요… --[[사용자:휴면유동닉|휴면유동닉]] ([[사용자토론:휴면유동닉|토론]]) 2015년 9월 5일 (토) 02:59:11 (KST)
: 증명에 미비한 부분이 있었네요. 증명의 내용을 보존한다는 전제 아래 한줄씩 보충하면 될 것 같습니다. <math>a\in H</math>임을 명시하고 <math>a^i=a^j</math>인 서로 다른 <math>i,j\in \mathbb{N}</math>가 존재한다던가 하는 식으로요.
: \(H\)의 원소를 permute하므로...의 설명이 무엇을 뜻하는지 전체적으로 이해가 안 갑니다. 가령 \(\lambda_a\)를 설정한다는 게 매우 생소한데, 임의의 <math>x\in H</math>에 대해 <math>\lambda_a(x)=ax</math>를 뜻하는 건가요? 좀 더 자세히 설명해주시면 감사하겠습니다. -- [[사용자:Hwangjy9|Hwangjy9]] ([[사용자토론:Hwangjy9|토론]]) 2015년 9월 5일 (토) 07:44:09 (KST)
:: 지금 봤네요. <math>a \in H</math>에 대해 ''a''를 왼쪽에 곱하는 함수 <math>\lambda_a : H \to H,\; x \mapsto ax</math>를 생각합니다(''H''가 곱셈에 대해 닫혀 있으므로 공역을 그냥 ''H''로 써도 되겠지요). 이 함수는 당연히 단사함수이고(''ax''=''ay''를 ''G''의 등식으로 생각하고 ''a''를 소거하면 됩니다), ''H''는 유한집합이므로 이 함수는 전단사함수입니다. <math>\lambda_a</math>가 ''H''에서 ''H''로 가는 전단사함수라는 것을 다른 말로 ''H''의 원소를 permute한다고 하는 걸로 알고 있습니다. 어쨌건, 따라서 <math>\lambda_a</math>의 역함수를 생각할 수 있습니다.
:: 이제 <math>\left(\lambda_a\right)^{-1} a \in H</math>를 생각해 보면, ''G''의 등식 <math>a \left(\lambda_a\right)^{-1} a = a = a e_G</math>에서 ''a''를 소거하면 <math>\left(\lambda_a\right)^{-1} a = e_G \in H</math>임을 알 수 있습니다.
:: 마찬가지 방법으로 <math>\left(\lambda_a\right)^{-1} e_G \in H</math>는 ''a''의 역원인 점도 알 수 있습니다. --[[사용자:휴면유동닉|휴면유동닉]] ([[사용자토론:휴면유동닉|토론]]) 2015년 9월 29일 (화) 03:01:49 (KST)
:: 그러니까 현재 증명의 대의가 결국 곱셈에 대해 닫혀 있고 유한집합이니까 ''a''를 계속 곱하다 보면 언젠가 ''e''<sub>''G''</sub>가 나온다는 거잖아요. 근데 계속 곱한다는 걸 생각하기가 귀찮아서, 그냥 각 원소에 대해 ''a''를 한 번만 곱하는 화살표를 생각한 겁니다. ''a''를 계속 곱하는 건 결국 이 화살표를 여러 번 따라가는 거랑 같은 거잖아요. --[[사용자:휴면유동닉|휴면유동닉]] ([[사용자토론:휴면유동닉|토론]]) 2015년 9월 29일 (화) 03:07:11 (KST)