로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!'''타원곡선 소수판정법'''(Elliptic curve primality proving, ECPP)은 큰 자연수의 [[소수 (정수)|소수]] 여부를 알아내는 방법으로, 현재 가장 널리 쓰이고 있는 효율적인 알고리즘이다. 기본적으로 [[포클링턴-레머 소수판정법]]의 알고리즘을 확장한 형태를 하고 있으며, 포클링턴의 방법에 비해 일반적인 큰 수에 대해 유연하게 쓸 수 있다. 2022년 8월 13일까지 ECPP로 규명해낸 가장 큰 소수는 <math>10^{50000}+65859</math>로, 50001자리수이다.<ref>Prime Pages, [https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=27 The Top Twenty: Elliptic Curve Primality Proof]</ref> == 진술 == 소수 여부를 가려낼 자연수 <math>N</math>이 있으면 <math>\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}</math>위에서 정의된 특정 [[타원곡선]] <math>E_{a, b}(N): y^2=x^3+ax+b</math>와 타원곡선 상의 점의 덧셈, 덧셈에 대한 항등원 <math>I</math>를 생각할 수 있다. 단, <math>\gcd(4a^3+27b^2, N)=1</math>이다. 이 타원곡선에서 아래 조건을 만족하는 <math>m, q, P</math>가 존재하면 <math>N</math>은 소수이다. * <math>p: \text{prime}, p>(\sqrt[4]{N}+1)^2</math> * <math>m=sp</math> * <math>mP=I, sP \neq I</math> == 증명 == [[포클링턴-레머 소수판정법]]과 비슷한 방법으로 접근한다. <math>N</math>이 소수가 아니라면 <math>q \mid N, q \leq \sqrt{N}</math>인 소인수가 존재하고, <math>\gcd(4a^3+27b^2, q)=1</math>도 성립한다. 여기서 <math>q</math>를 법으로 하는 타원곡선<math>E_{a, b}(q)</math>를 생각할 수 있는데, 이 타원곡선의 점의 개수를 <math>m_q</math>라 한다. [[하세의 정리]]에 의해 <math>|m_q-(q+1)| \leq 2\sqrt{q}</math>이고, 이에 따라 <math>m_q \leq q+2\sqrt{q}+1 \leq (\sqrt{q}+1)^2</math>이다. 가정을 불러오면 <math>m_q \leq (\sqrt[4]{N}+1)^2 <p</math>이다. 여기서 <math>p</math>는 소수이므로 <math>m_q, p</math>는 서로소이다. 즉 합동식 <math>rp \equiv 1 \pmod{m_q}</math>를 만족하는 모듈러 역수 <math>r</math>이 존재하고, <math>m_q \mid rp-1</math>이다. 한편 원래 타원곡선 <math>E_{a, b}(N)</math>의 한 점 <math>P</math>에 대응하는 <math>E_{a, b}q</math>상의 점 <math>Q</math>를 생각할 수 있고, 가정에 의해 <math>m_qQ=I, rpQ=Q</math>와 같이 쓸 수 있다. 또한 <math>E_{a, b}(N)</math>에서 가정한 진술의 셋째 조건인 <math>spP=I</math>를 <math>E_{a, b}(q)</math>로 옮기면 <math>spQ=I</math>이다. 이 점을 <math>r</math>번 더하면 <math>srpQ=I, sQ=I</math>가 된다. 하지만 진술의 또다른 셋째 조건인 <math>sP \neq I</math>는 <math>E_{a, b}(q)</math> 상에서는 <math>sQ \neq I</math>로, 바로 위 논리와 모순이다. 그러므로 <math>N</math>은 소수라는 결론에 도달한다. == 실제 사용 == ECPP는 [[밀러-라빈 소수판정법]]과 같은 타 방법보다 연산량이 훨씬 많다. 하지만 이 방법은 소수이기 위한 필요조건이 아닌 '''확실한 소수'''임을 결정하는 알고리즘이며, 모든 자연수에 대해 적용할 수 있다는 점에서 널리 스이고 있다. 어떤 큰 자연수가 소수인지를 알고 싶다면 먼저 [[페르마의 소정리]]와 같이 연산량이 적은 정리로 [[유력 소수]] 여부를 확인한다. 그리고 "이 수는 거의 확실히 소수일 것이다"라고 확신이 들 때 ECPP를 적용한다. == 참고 자료 == * Shafi Goldwasser, [http://www.mat.uniroma2.it/~geo2/goldwasserkilian.pdf Primality Testing Using Elliptic Curves] {{각주}} {{수론 알고리즘}} [[분류:알고리즘]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:둘러보기 상자 (원본 보기) (보호됨)틀:둘러보기 상자/핵심 (원본 보기) (보호됨)틀:수론 알고리즘 (편집) 틀:틀바 (원본 보기) (준보호됨)