개요[편집 | 원본 편집]
절대 기하학의 한 정리로, 절대 기하학의 삼각형을 탐구하기 위해선 필수적으로 알아야할 정리이다. 파슈의 공리와 마찬가지로 공리로 받아들이는 경우도 있지만, 일반적인 절대 기하학에서는 공리가 아니라 증명이 필요한 명제이다. 먼저 보조 정리를 하나 알고 넘어가자.
Z 정리[편집 | 원본 편집]
그림을 보면 왜 Z정리라고 부르는지 느낌이 딱 올 것이다. 자세한 정리는 다음과 같다.
직선 [math]\displaystyle{ l }[/math] 위에 서로 다른 두 점 [math]\displaystyle{ A,\,D }[/math]가 존재한다고 하자. [math]\displaystyle{ B,\,E }[/math]가 [math]\displaystyle{ l }[/math]을 기준으로 반대 반평면에 속해있을 때, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB}\cap\overrightarrow{DE}=\emptyset }[/math]
반직선 정리에 의해, [math]\displaystyle{ A }[/math]를 제외한 반직선 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB} }[/math] 위의 모든 점은 한 반평면에 속해있고, 마찬가지로 [math]\displaystyle{ D }[/math]를 제외한 반직선 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{DE} }[/math] 위의 모든 점은 다른 반 평면에 속해있다. 또한, 평면 분할 공리에 의해 두 반평면은 배반 집합이다. 게다가, [math]\displaystyle{ A\neq D }[/math]이므로, 두 반직선은 교차하지 않는다.
크로스바 정리[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ \triangle{ABC} }[/math]가 있다고 생각하자. [math]\displaystyle{ \angle{A} }[/math] 내부에, 점 [math]\displaystyle{ D }[/math]를 찍고, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AD} }[/math]를 그으면, 이 반직선은 [math]\displaystyle{ \overline{BC} }[/math]와 만날까? 그림을 그려서 직관적으로 생각하면 당연히 만나지만, 이는 절대 자명하지 않다. 크로스바 정리는 이 반직선과 변이 실제로 만난다는 정리이다.
[math]\displaystyle{ \triangle{ABC} }[/math]가 삼각형이고, [math]\displaystyle{ D }[/math]가 [math]\displaystyle{ \angle{BAC} }[/math] 내부에 존재한다고 하자. 그럼, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AD} }[/math]와 [math]\displaystyle{ \overline{BC} }[/math] 위에 동시에 존재하는 점 [math]\displaystyle{ G }[/math]가 존재한다.
점 [math]\displaystyle{ E }[/math]와 [math]\displaystyle{ F }[/math]를 각각 [math]\displaystyle{ E*A*B }[/math], [math]\displaystyle{ F*A*D }[/math]을 만족하게 잡는다 (거리 공준). [math]\displaystyle{ l=\overleftrightarrow{AD} }[/math]라 하자. [math]\displaystyle{ D }[/math]가 [math]\displaystyle{ \angle{BAC} }[/math] 내부에 존재하므로, 정의에 의해 [math]\displaystyle{ B,\,C\not\in l }[/math]이다. 따라서, 파슈의 공리에 의해 [math]\displaystyle{ l }[/math]은 [math]\displaystyle{ \overline{EC} }[/math]나 [math]\displaystyle{ \overline{BC} }[/math]와 만난다.
한편, [math]\displaystyle{ F*A*D }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ F }[/math]와 [math]\displaystyle{ D }[/math]는 [math]\displaystyle{ \overleftrightarrow{AB} }[/math]를 기준으로 다른 반평면에 속해있다 (평면 분할). 그리고 [math]\displaystyle{ D }[/math]가 [math]\displaystyle{ \angle{BAC} }[/math] 내부에 존재하므로, [math]\displaystyle{ C }[/math] 역시 [math]\displaystyle{ D }[/math]와 같은 반평면에 속해있다. 따라서 [math]\displaystyle{ C }[/math]와 [math]\displaystyle{ F }[/math]는 [math]\displaystyle{ \overleftrightarrow{AB} }[/math]를 기준으로 다른 반평면에 속해있다 (평면 분할). 그리고 [math]\displaystyle{ A\neq E }[/math]이므로, Z 정리에 의해 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{EC}\cap\overrightarrow{AF}=\emptyset }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \overline{EC}\subseteq\overrightarrow{EC} }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AF}\cap\overline{EC}=\emptyset }[/math]이다.
또한, [math]\displaystyle{ B\neq A }[/math]이므로, Z 정리에 의해 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AF}\cap\overrightarrow{BC}=\emptyset }[/math]이다. 그런데 [math]\displaystyle{ \overline{BC}\subseteq\overrightarrow{B} }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AF}\cap\overline{BC}=\emptyset }[/math]이다.
따라서, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AF} }[/math]는 [math]\displaystyle{ \overline{EC} }[/math]나 [math]\displaystyle{ \overline{BC} }[/math]와 만나지 않지만 [math]\displaystyle{ l }[/math]은 두 변 중 하나와 만나므로, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AD} }[/math]가 둘 중 하나와 반드시 만나야 한다.
이제, [math]\displaystyle{ E*A*B }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ E }[/math]와 [math]\displaystyle{ B }[/math]는 [math]\displaystyle{ \overleftrightarrow{AC} }[/math]를 기준으로 다른 반평면에 속해있다 (평면 분할). 그리고 [math]\displaystyle{ D }[/math]가 [math]\displaystyle{ \angle{BAC} }[/math] 내부에 존재하므로, [math]\displaystyle{ B }[/math] 역시 [math]\displaystyle{ D }[/math]와 같은 반평면에 속해있다. 따라서, [math]\displaystyle{ E }[/math]와 [math]\displaystyle{ D }[/math]는 다른 반평면에 속해있다 (평면 분할). 그리고 [math]\displaystyle{ A\neq C }[/math]이므로, Z 정리에 의해 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AD}\cap\overrightarrow{CE}=\emptyset }[/math]이다. 그런데 [math]\displaystyle{ \overline{CE}\subseteq\overrightarrow{CE} }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AD}\cap\overline{CE}=\emptyset }[/math].
위 경우를 모두 조합하면, 가능한 경우는 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AD} }[/math]가 [math]\displaystyle{ \overline{BC} }[/math]와 만나는 경우 뿐이다. 이로써 크로스바 정리가 증명되었다.