크로네커 정리

정의

체 [math]\displaystyle{ F }[/math]와 그의 다항식환 [math]\displaystyle{ F[x] }[/math]의 상수가 아닌 원소 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]가 주어졌을 때, [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]의 영점을 포함하는 확대체 [math]\displaystyle{ E }[/math]가 존재한다. 즉, 어느 체든 그 체의 원소를 계수로 가지는 특정 다항식 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]가 [math]\displaystyle{ f(a)=0 }[/math]을 만족하는 원소 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 가지도록 체를 확장할 수 있다는 것이다.

증명

어떤 체 [math]\displaystyle{ F }[/math]와 그의 다항식환 [math]\displaystyle{ F[x] }[/math]의 다항식 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]가 주어졌다고 하자. [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]를 인수분해하여 그 인수 중 한 다항식을 선택하여 그 다항식을 [math]\displaystyle{ p(x) }[/math]라고 하자. [math]\displaystyle{ p(x) = 0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f(x) = 0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ p(x) }[/math]의 영점을 포함하는 확대체를 찾기만 하여도 충분하다.

[math]\displaystyle{ p(x) }[/math]는 기약다항식이므로 이 다항식이 생성하는 아이디얼 [math]\displaystyle{ \lt p(x)\gt }[/math]는 극대아이디얼이다. 따라서, 이 아이디얼이 만드는 몫환 [math]\displaystyle{ F/\lt p(x)\gt }[/math]는 체가 된다. [math]\displaystyle{ F }[/math]의 원소 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 [math]\displaystyle{ a + \lt p(x)\gt }[/math]로 사상하여 생각한다면, [math]\displaystyle{ F/\lt p(x)\gt }[/math]는 [math]\displaystyle{ F }[/math]의 확대체가 된다.

이제 [math]\displaystyle{ F/\lt p(x)\gt }[/math]가 [math]\displaystyle{ p(x) }[/math]의 영점을 가지고 있음만 증명하면 된다. [math]\displaystyle{ p(x) }[/math]에 [math]\displaystyle{ x + \lt p(x)\gt }[/math]를 대입하여 보면 [math]\displaystyle{ x + \lt p(x)\gt }[/math]가 그 영점임을 확인할 수 있다.

따라서, [math]\displaystyle{ F/\lt p(x)\gt }[/math]는 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]의 영점을 포함하는 [math]\displaystyle{ F }[/math]의 확대체가 된다.