쿨렌 수 편집하기

'''쿨렌 수'''(Cullen number)는 <math>C_n=n \cdot 2^n+1 (n \geq 1)</math>의 꼴로 표현되는 자연수로, 제임스 쿨렌(James Cullen)에서 이름이 붙었다. '''쿨렌 소수'''(Cullen prime)는 쿨렌 수 중 [[소수 (정수)|소수]]인 수들을 말한다.

쿨렌 수는 [[프로트 수]]의 특수한 형태이므로 [[프로트의 정리]]로 소수 여부를 알아낼 수 있다.

== 특징 ==
쿨렌 수의 특정 항에서 바로 이전 항의 두 배를 빼면 [[메르센 수]]가 된다. 즉 <math>C_n-2C_{n-1}=2^n-1=M_n</math>. 또, <math>C_n=2U_n(4, 4)+1</math>로도 표현이 되며, 여기서 <math>U_n</math>은 제1종 [[뤼카 수열]]이다.

임의의 홀수 소수 <math>p</math>를 약수로 가지는 쿨렌 수가 존재한다.
* <math>p \equiv \pm 1 \pmod 8</math>이면 <math>p \mid C_{\frac{3p-1}{2}}</math>이다.
** '''증명''': 2는 법 <math>p</math>에 대한 이차잉여이므로, [[오일러의 규준]]에 의해 <math>2^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod p</math>이다. 양 변을 세제곱하고 <math>3p-1</math>을 곱하면 <math>(3p-1)2^{\frac{3p-3}{2}} \equiv 3p-1 \equiv -1 \pmod p</math>이고, 다시 양 변에 1을 더하면 <math>\frac{3p-1}{2} \cdot 2^{\frac{3p-1}{2}}+1 \equiv 0 \pmod p</math>이다. 따라서 <math>C_{\frac{3p-1}{2}} \equiv 0 \pmod p</math>를 얻는다.
* <math>p \equiv \pm 3 \pmod 8</math>이면 <math>p \mid C_{\frac{p+1}{2}}</math>이다.
** '''증명''': 2는 법 <math>p</math>에 대한 이차잉여가 아니므로 <math>2^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \pmod p</math>이다. 양 변에 <math>p+1</math>을 곱하면 <math>(p+1)2^{\frac{p-1}{2}} \equiv -(p+1) \equiv -1 \pmod p</math>이고, 다시 양 변에 1을 더하면 <math>\frac{p+1}{2} \cdot 2^{\frac{p+1}{2}}+1 \equiv 0 \pmod p</math>이다. 그러므로 <math>C_{\frac{p+1}{2}} \equiv 0 \pmod p</math>를 얻는다.

위 두 성질에 의해 <math>3 \mid C_2, 5 \mid C_3, 7 \mid C_{10}, 11 \mid C_6, \cdots </math> 등을 얻는다.

== 쿨렌 소수 목록 ==
2022년 8월 30일까지 발견된 쿨렌 소수는 모두 16개이다.<ref>Prime pages, [https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=6 Top 20: Cullen primes]</ref> {{OEIS|A005849}}

{|class="wikitable"
! 순번 !! <math>n</math> !! <math>C_n</math> !! 자릿수 !! 발견 일시
|-
| 1 || 1 || 3 || 1 ||
|-
| 2 || 141 || <math>141 \cdot 2^{141}+1</math> || 45 || 1958년
|-
| 3 || 4713 || <math>4713 \cdot 2^{4713}+1</math> || 1423 || 1984년 12월
|-
| 4 || 5795 || <math>5795 \cdot 2^{5795}+1</math> || 1749 || 1984년 12월
|-
| 5 || 6611 || <math>6611 \cdot 2^{6611}+1</math> || 1994 || 1984년 12월
|-
| 6 || 18496 || <math>289 \cdot 2^{18502}+1</math> || 5573 || 1984년 12월
|-
| 7 || 32292 || <math>8073 \cdot 2^{32294}+1</math> || 9726 || 1997년 5월
|-
| 8 || 32469 || <math>289 \cdot 2^{18502}+1</math> || 5573 ||  1997년 5월
|-
| 9 || 59656 || <math>8073 \cdot 2^{32294}+1</math> || 9726 || 1997년 5월
|-
| 10 || 90825 || <math>141 \cdot 2^{141}+1</math> || 27347 || 1997년 5월
|-
| 11 || 262419 || <math>4713 \cdot 2^{4713}+1</math> || 79002 || 1998년 3월
|-
| 12 || 361275 || <math>361275 \cdot 2^{361275}+1</math> || 108761 || 1998년 7월
|-
| 13 || 481899 || <math>481899 \cdot 2^{481899}+1</math> || 145072 || 1998년 9월
|-
| 14 || 1354828 || <math>338707 \cdot 2^{1354830}+1</math> || 407850 || 2005년 8월
|-
| 15 || 6328548 || <math>1582137 \cdot 2^{6328550}+1</math> || 1905090 || 2009년 4월
|-
| 16 || 6679881 || <math>6679881 \cdot 2^{6679881}+1</math> || 2010852 || 2009년 8월
|-
|}

== 우달 수 ==
'''우달 수'''(Woodall number)는 쿨렌 수의 정의에서 1의 부호가 바뀐 수이다. 즉 <math>W_n=n \cdot 2^n-1</math>이며, '제2종 쿨렌 수'라고도 불린다. '''우달 소수'''(Woodall prime)는 우달 수 중 소수인 수들을 말한다. 이쪽은 [[뤼카-레머-리젤 소수판정법]]으로 소수 여부를 가려낼 수 있다.

<math>n</math>이 2의 거듭제곱이면 우달 수는 메르센 수가 된다. 즉 <math>W_{2^k}=2^{k+2^k}-1=M_{k+2^k}</math>

앞서 소개한 쿨렌 수와 비슷하게, 임의의 홀수 소수 <math>p</math>를 약수로 가지는 우달 수를 찾을 수 있다. 단, 쿨렌 수와는 조건과 성질이 서로 바뀌어 있으며, 위와 같은 방식으로 증명할 수 있다.
* <math>p \equiv \pm 1 \pmod 8</math>이면 <math>p \mid C_{\frac{p+1}{2}}</math>이다.
* <math>p \equiv \pm 3 \pmod 8</math>이면 <math>p \mid C_{\frac{3p-1}{2}}</math>이다.

2022년 8월 30일까지 발견된 우달 소수는 모두 34개이다.<ref>Prime pages, [https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=7 Top 20: Woodall primes]</ref> {{OEIS|A002234}} 이 중 <math>W_2=M_3, W_{512}=M_{521}</math>은 메르센 소수이기도 하다.

{|class="wikitable"
! 순번 !! <math>n</math> !! <math>W_n</math> !! 자릿수 !! 발견 일시
|-
| 1 || 2 || 7 || 1 ||
|-
| 2 || 3 || 23 || 2 || 
|-
| 3 || 6 || 383 || 3 || 
|-
| 4 || 30 || 32212254719 || 11 ||
|-
| 5 || 75 || <math>75 \cdot 2^{75}-1</math> || 25 ||
|-
| 6 || 81 || <math>81 \cdot 2^{81}-1</math> || 27 ||
|-
| 7 || 115 || <math>115 \cdot 2^{115}-1</math> || 37 ||
|-
| 8 || 123 || <math>123 \cdot 2^{123}-1</math> || 40 ||
|-
| 9 || 249 || <math>249 \cdot 2^{249}-1</math> || 78 ||
|-
| 10 || 362 || <math>181 \cdot 2^{363}-1</math> || 112 ||
|-
| 11 || 384 || <math>3 \cdot 2^{391}-1</math> || 119 ||
|-
| 12 || 462 || <math>231 \cdot 2^{463}-1</math> || 142 ||
|-
| 13 || 512 || <math>2^{521}-1</math> || 157 ||
|-
| 14 || 751 || <math>751 \cdot 2^{751}-1</math> || 229 ||
|-
| 15 || 822 || <math>411 \cdot 2^{823}-1</math> || 251 ||
|-
| 16 || 5312 || <math>83 \cdot 2^{5318}-1</math> || 1603 || 1984년 12월
|-
| 17 || 7755 || <math>7755 \cdot 2^{7755}-1</math> || 2339 || 1984년 12월
|-
| 18 || 9531 || <math>9531 \cdot 2^{9531}-1</math> || 2874 || 1984년 12월
|-
| 19 || 12379 || <math>12379 \cdot 2^{12379}-1</math> || 3731 || 1984년 12월
|-
| 20 || 15822 || <math>7911 \cdot 2^{15823}-1</math> || 4768 || 1987년 12월
|-
| 21 || 18885 || <math>18885 \cdot 2^{18885}-1</math> || 5690 || 1987년 12월
|-
| 22 || 22971 || <math>22971 \cdot 2^{22971}-1</math> || 6920 || 1997년 5월
|-
| 23 || 23005 || <math>23005 \cdot 2^{23005}-1</math> || 6930 || 1997년 5월
|-
| 24 || 98726 || <math>49363 \cdot 2^{98727}-1</math> || 29725 || 1997년 5월
|-
| 25 || 143018 || <math>71509 \cdot 2^{143019}-1</math> || 43058 || 1998년 4월
|-
| 26 || 151023 || <math>151023 \cdot 2^{151023}-1</math> || 45468 || 1998년 5월
|-
| 27 || 667071 || <math>667071 \cdot 2^{667071}-1</math> || 200815 || 2000년 9월
|-
| 28 || 1195203 || <math>1195203 \cdot 2^{1195203}-1</math> || 359799 || 2005년 7월
|-
| 29 || 1268979 || <math>1268979 \cdot 2^{1268979}-1</math> || 382007 || 2007년 6월
|-
| 30 || 1467763 || <math>1467763 \cdot 2^{1467763}-1</math> || 441847 || 2007년 6월
|-
| 31 || 2013992 || <math>251749 \cdot 2^{2013995}-1</math> || 606279 || 2007년 8월
|-
| 32 || 2367906 || <math>1183953 \cdot 2^{2367907}-1</math> || 712818 || 2007년 9월
|-
| 33 || 3752948 || <math>938237 \cdot 2^{3752950}-1</math> || 1129757 || 2007년 12월
|-
| 34 || 17016602 || <math>8508301 \cdot 2^{17016603}-1</math> || 5122515 || 2018년 3월
|-
|}

{{각주}}
{{소수}}
[[분류:정수론]]