진술
수열 [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]이 단조감소하고 [math]\displaystyle{ a_n \ge 0 }[/math]이라고 하자. 그러면 급수
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}2^n a_{2^n} }[/math]
이 수렴하는 것이다.
증명
먼저 [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} 2^n a_{2^n} }[/math]이 수렴한다고 가정하자. 그러면 [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^n 2^i a_{2^i} }[/math]는 유계이다. [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]에 대해, 부분합 [math]\displaystyle{ S_n=\sum_{i=1}^n a_i }[/math]를 정의하자. [math]\displaystyle{ a_n \ge 0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ (S_n) }[/math]은 단조증가한다. 그러면
- [math]\displaystyle{ \begin{align} S_{2^n-1}&= a_1+a_2+\cdots+a_{2^n-1}\\ &=a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5+a_6+a_7)+\cdots+(a_{2^{n-1}}+a_{2^{n-1}+1}+\cdots+a_{2^n-1})\\ &\le a_1+(a_2+a_2)+(a_4+a_4+a_4+a_4)+\cdots+(a_{2^{n-1}}+a_{2^{n-1}}+\cdots+a_{2^{n-1}})\\ &=\sum_{i=1}^{n-1} 2^{i-1} a_{2^{i-1}} \end{align} }[/math]
이므로 [math]\displaystyle{ (S_n) }[/math]은 유계이다. 즉, [math]\displaystyle{ (S_n) }[/math]은 유계인 단조수열이므로 단조수렴정리에 의해 수렴한다. 따라서 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 수렴한다.
이제 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]이 수렴한다고 가정하자. [math]\displaystyle{ (2^n a_{2^n}) }[/math]에 대해, 부분합 [math]\displaystyle{ T_n = \sum_{i=0}^n 2^i a_{2^i} }[/math]을 정의하자. 그러면 1+2+4+...+2^n = 2^{n+1}-1
- [math]\displaystyle{ \begin{align} T_n &= a_1 + (a_2+a_2)+ (a_4+a_4+a_4+a_4)+\cdots+ (a_{2^n}+a_{2^n}+\cdots + a_{2^n})\\ &\le a_1+a_1+ (a_2+a_2)+(a_4+a_4+a_4+a_4)+\cdots+ (a_{2^n}+a_{2^n}+\cdots + a_{2^n})\\ &= (a_1+a_1)+(a_2+a_2)+(a_4+a_4)+(a_4+a_4)+\cdots + (a_{2^n}+a_{2^n})\\ &= (a_1+a_1)+(a_2+a_2)+(a_3+a_3)+(a_4+a_4)+\cdots + (a_{2^n}+a_{2^n})\\ &=\sum_{i=1}^{2^n} 2a_i \end{align} }[/math]
이므로 [math]\displaystyle{ (T_n) }[/math]은 유계이다. 즉, [math]\displaystyle{ (T_n) }[/math]은 유계인 단조수열이므로 단조수렴정리에 의해 수렴한다. 따라서 [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}2^n a_{2^n} }[/math]은 수렴한다.
예시