케플러의 법칙

독일의 천문학자 요하네스 케플러가 티코 브라헤의 자료를 받아 16년 만에 정립한 행성들의 움직임에 관한 법칙.

보통 다음의 세 가지로 표현된다.

케플러의 제1법칙

“

1. 모든 행성들은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 따라서 이동한다.

“

거리 제곱에 반비례하는 중력의 성질의 결과이다.

특히, 두 초점이 일치하는 타원의 경우 원이 된다.

케플러의 제2법칙

“

2. 태양과 행성을 잇는 반지름 벡터는 같은 시간 간격 동안에 같은 넓이를 쓸고 지나간다.

“

각운동량 보존의 결과로 설명할 수 있다. 태양이 행성에 비해 훨씬 더 큰 질량을 가지고 있으면, 태양은 움직이지 않는다고 가정한다. 태양이 행성에 작용하는 중력은 중심력이며, 태양을 향하는 반지름 방향이다.

[math]\displaystyle{ \tau = r\times {F}_{g} = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ L = r\times p = {M}_{p}r\times v = }[/math] 일정

그림 b에서 반지름 벡터 [math]\displaystyle{ \vec{r} }[/math]은 시간 dt동안 넓이 dA를 쓸고 지나가는데 이 넓이는 벡터 [math]\displaystyle{ \vec{r} }[/math]과 [math]\displaystyle{ d\vec{r} }[/math]이 만든 평행사변형의 넓이 [math]\displaystyle{ \left|\vec{r}\times d\vec{r} \right| }[/math]의 반이다. 시간 dt동안 행성이 지나간 거리는 [math]\displaystyle{ d\vec{r} = \vec{v}dt }[/math]이므로

[math]\displaystyle{ dA = \frac{1}{2}\left|\vec{r}\times d\vec{r} \right| = \frac{1}{2}\left|\vec{r}\times \vec{v}dt \right| = \frac{L}{{2M}_{p}dt} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{dA}{dt} = \frac{L}{{2M}_{p}} }[/math]

여기서 L과 M_p는 모두 상수이다.

케플러의 제3법칙

“

3. 모든 행성의 궤도 주기의 제곱은 그 행성 궤도의 긴 반지름의 세제곱에 비례한다.

“

행성이 원운동할 때 행성의 구심 가속도를 제공하는 것이 중력이므로, 등속 원운동을 하는 물체에 뉴턴의 제2법칙을 적용하면

[math]\displaystyle{ {F}_{g} = \frac{G{M}_{s}{M}_{p}}{{r}^{2}} = {M}_{p}a = \frac{{M}_{p}{v}^{2}}{r} }[/math]

[math]\displaystyle{ v = \frac{2\pi r}{T} }[/math](T:주기)이므로

[math]\displaystyle{ \frac{G{M}_{s}}{{r}^{2}} = \frac{\left(2\pi r/T \right)}{r} }[/math]

[math]\displaystyle{ {T}^{2} = \left(\frac{4{\pi }^{2}}{G{M}_{s}} \right){r}^{3} = {K}_{s}{r}^{3} }[/math]

타원 궤도인 경우에는 r을 긴 반지름 a로 바꾸면 된다.

[math]\displaystyle{ {T}^{2} = \left(\frac{4{\pi }^{2}}{G{M}_{s}} \right){a}^{3} = {K}_{s}{a}^{3} }[/math]

KSP라는 게임에서 인공위성의 공전주기를 조절할 때 자주 쓰게 될 법칙이기도 하다.