카탈란 상수

카탈란 상수(Catalan's constant)는 디리클레 베타함수의 특수한 값으로 정의되는 상수이다.

정의

[math]\displaystyle{ G=\beta(2)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2} \approx 0.91596559417721901505 }[/math]

디리클레 베타 함수 [math]\displaystyle{ \beta(s) }[/math]는 [math]\displaystyle{ s }[/math]가 홀수 자연수일 때 [math]\displaystyle{ \pi^s }[/math]의 유리수배라는 사실은 알고 있지만 짝수인 경우는 해석적인 표현이 발견되지 않았다. 그 중 가장 작은 짝수인 [math]\displaystyle{ s=2 }[/math]에 대해 함숫값을 별도 문자로 쓰고, 이것이 카탈란 상수이다. 리만 제타함수의 특수 값인 [math]\displaystyle{ \zeta(3) }[/math]을 아페리 상수로 정의해서 쓰는 것과 비슷하다.

이 상수가 무리수인지 여부는 아직 밝혀지지 않았다.

적분 표현

디리클레 베타 함수의 적분을 이용한 식을 불러오면 카탈란 상수도 적분식으로 쓸 수 있다.

[math]\displaystyle{ \beta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}dx }[/math]에서 [math]\displaystyle{ x=2 }[/math]를 대입하면 [math]\displaystyle{ G=\int_0^\infty \frac{xe^{-x}}{1+e^{-2x}}dx }[/math]

이에 따라 여러 적분식을 이끌어낼 수 있다.

• [math]\displaystyle{ x=t }[/math]로 바꾸면 [math]\displaystyle{ G=\int_0^\infty\frac{t}{2\cosh t}dt }[/math]
• [math]\displaystyle{ e^x=t }[/math]로 치환하면 [math]\displaystyle{ G=\int_1^\infty \frac{\ln t}{1+t^2} dt }[/math]
• [math]\displaystyle{ e^{-x}=t }[/math]로 치환하면 [math]\displaystyle{ G=\int_0^1 \frac{-\ln t}{1+t^2} dt }[/math]
• [math]\displaystyle{ e^x=\tan t }[/math]로 치환하면 [math]\displaystyle{ \int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \tan t dt }[/math]
• [math]\displaystyle{ e^x=\cot t }[/math]로 치환하면 [math]\displaystyle{ \int_0^{\pi/4} \ln \cot t dt }[/math]