최대공약수

최대공약수(greatest common divisor, GCD 또는 gcd)는 두 수의 공약수 중에서 가장 큰 양수를 말한다. 보통 정수 범위에서 정의되며, [math]\displaystyle{ \Bbb Q[x] }[/math]에서 정의하기도 한다. 기호로는 [math]\displaystyle{ \gcd\left(a,b\right) }[/math]로 표시하며, 더욱 줄이면 [math]\displaystyle{ \left(a,b\right) }[/math]로만 표시하는 경우도 있다.

정의

최대공약수는 다음과 같이 정의된다.

[math]\displaystyle{ \gcd\left( a , b \right) = \left( a , b \right) : = \max\{d: \; d\in \Bbb N, \; d|a \text{ and } d|b\} }[/math]

정의에 따라 [math]\displaystyle{ d=\gcd\left(a,b\right) }[/math]는

• [math]\displaystyle{ d \ge 1 , d | a , d | b }[/math]
• [math]\displaystyle{ k | a, \; k | b \Leftrightarrow k | d }[/math]

를 만족한다.

찾는 법

예시로 두 수 12, 18의 공약수 및 최대공약수를 찾고 싶다고 하자. 간단하게, 두 수의 약수를 모두 나열한다.

12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

여기서 위아랫줄 모두 같이 있는 숫자가 공약수가 된다. 즉, 이 경우에는 1, 2, 3, 6이 공약수가 된다. 최대공약수는, 찾은 공약수 중 가장 큰 것, 즉 이 경우에는 6이 최대공약수가 된다. 참 쉽죠?

하지만 두 수의 약수를 찾는 게 어렵다면 어떻게 될까? 2015와 246의 최대공약수를 약수를 나열하는 방법으로 찾으려면 한참이 걸릴 것이다. 이 문제를 해결하기 위한 방법이 바로 유클리드 호제법. 놀랍게도 기원전에 발견된 인류 최초의 알고리즘이라고 한다. 자세한 것은 유클리드 호제법의 활용 참조.

성질

1. 최대공약수는 유일하다

2. [math]\displaystyle{ \gcd\left(a,b\right)\geq1 }[/math]

3. [math]\displaystyle{ \gcd\left(a,b\right)=\gcd\left(\left|a\right|,\left|b\right|\right) }[/math]

4. [math]\displaystyle{ \gcd\left(a,0\right)=\left|a\right| }[/math]

5. [math]\displaystyle{ d=\gcd\left(a,b\right) }[/math]라 하면, [math]\displaystyle{ \gcd\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d}\right)=1 }[/math]

6. 임의의 정수 [math]\displaystyle{ k }[/math]에 대하여, [math]\displaystyle{ \gcd\left(a,b\right)=\gcd\left(a+kb,b\right) }[/math]

7. 정수 [math]\displaystyle{ a , b }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ ax + by = \gcd\left( a , b \right) }[/math]를 만족하는 정수 [math]\displaystyle{ x , y }[/math]가 존재한다. 또한 [math]\displaystyle{ x , y }[/math]가 임의의 정수일 때 [math]\displaystyle{ \gcd\left( a , b \right) | ax+by }[/math]이다.

증명

2. [math]\displaystyle{ 1\mid a,1\mid b }[/math]이므로, 두 수의 최대공약수는 1보다 크거나 같다. 즉, [math]\displaystyle{ \gcd\left(a,b\right)\geq1 }[/math].

3. [math]\displaystyle{ x\mid a }[/math]와 [math]\displaystyle{ x\mid -a }[/math]는 동치이다. 그런데 [math]\displaystyle{ \left|a\right| }[/math]는 [math]\displaystyle{ a }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ -a }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ a }[/math]와 [math]\displaystyle{ \left|a\right| }[/math]는 같은 약수를 갖는다. 마찬가지로, [math]\displaystyle{ b }[/math]와 [math]\displaystyle{ \left|b\right| }[/math]는 같은 약수를 갖는다. 따라서, [math]\displaystyle{ x }[/math]가 [math]\displaystyle{ a }[/math]와 [math]\displaystyle{ b }[/math]의 공약수라는 것은 [math]\displaystyle{ \left|a\right| }[/math]와 [math]\displaystyle{ \left|b\right| }[/math]의 공약수라는 사실과 동치이다. [math]\displaystyle{ \therefore\gcd\left(a,b\right)=\gcd\left(\left|a\right|,\left|b\right|\right) }[/math]

4. 3번으로 부터, [math]\displaystyle{ \gcd\left(a,0\right)=\gcd\left(\left|a\right|,0\right) }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \left|a\right|\cdot0=0 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \left|a\right|\mid0 }[/math]. 또한, [math]\displaystyle{ \left|a\right|\mid\left|a\right| }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \left|a\right| }[/math]는 [math]\displaystyle{ \left|a\right| }[/math]와 0의 공약수이다. 그러므로 [math]\displaystyle{ \left|a\right|\leq\gcd\left(\left|a\right|,0\right) }[/math]이다. 그런데 [math]\displaystyle{ \gcd\left(\left|a\right|,0\right)\mid\left|a\right| }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \gcd\left(\left|a\right|,0\right)\leq\left|a\right| }[/math]. 위 두 부등식으로 부터 [math]\displaystyle{ \gcd\left(\left|a\right|,0\right)=\left|a\right| }[/math]. 다시 한번 2번으로 부터, [math]\displaystyle{ \gcd\left(a,0\right)=\gcd\left(\left|a\right|,0\right)=\left|a\right| }[/math].

5. [math]\displaystyle{ a=dm, b=dn }[/math]라 하면, [math]\displaystyle{ \gcd\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d}\right)=\gcd\left(m,n\right) }[/math]이다. 양의 정수 [math]\displaystyle{ p }[/math]가 [math]\displaystyle{ p\mid m,p\mid n }[/math]를 만족한다고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ m=pe,n=pf }[/math]를 만족하는 정수 [math]\displaystyle{ e,f. }[/math]가 존재한다. 따라서, [math]\displaystyle{ a=dpe,b=dpf }[/math]이고 [math]\displaystyle{ dp }[/math]는 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]의 공약수이다. 한편, [math]\displaystyle{ d }[/math]는 최대공약수이므로, [math]\displaystyle{ d\geq dp }[/math]. 따라서 [math]\displaystyle{ p\leq1 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ p=1 }[/math]일 수 밖에 없다. 이로써 보이고자 하는 바가 증명되었다.

6. 만약 [math]\displaystyle{ x }[/math]가 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]의 공약수라면, [math]\displaystyle{ x\mid a,x\mid b }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ x\mid kb }[/math]이고, [math]\displaystyle{ x\mid a+kb }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ x }[/math]는 [math]\displaystyle{ a+kb }[/math]와 [math]\displaystyle{ b }[/math]의 공약수이다. 역으로, [math]\displaystyle{ x }[/math]가 [math]\displaystyle{ a+kb }[/math]와 [math]\displaystyle{ b }[/math]의 공약수라면, [math]\displaystyle{ x\mid a+kb, x\mid b }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ x\mid kb }[/math]이고, [math]\displaystyle{ x\mid\left(\left(a+kb\right)-kb\right)=a }[/math]이다. 즉, [math]\displaystyle{ x }[/math]는 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]의 공약수이다. 따라서 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]와 [math]\displaystyle{ a+kb,b }[/math]는 같은 공약수 집합을 가지므로 최대공약수도 같아야 한다.

7. 집합 [math]\displaystyle{ A=\left\{ax+by|x,y\in\right. }[/math]ℤ, [math]\displaystyle{ \left.ax+by\gt 0\right\} }[/math]를 생각하자. 집합 [math]\displaystyle{ A }[/math]는 자연수의 부분집합이고 공집합이 아니므로 well-ordering 원리에 의해 가장 작은 원소가 존재한다. 이를 [math]\displaystyle{ d }[/math]라 하면 적당한 정수 [math]\displaystyle{ x,y }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ d=ax+by }[/math]이다. 여기서 [math]\displaystyle{ d }[/math]가 최대공약수임을 보이면 증명이 끝난다. [math]\displaystyle{ d\gt 0 }[/math]이므로, 나눗셈 정리에 의하여 [math]\displaystyle{ a=qd+r,\,0\leq r\lt d }[/math]인 정수 [math]\displaystyle{ q,r }[/math]가 존재한다. 그러면 [math]\displaystyle{ r=a-qd=a-q\left(ax+by\right)=a\left(1-qx\right)-b\left(qy\right) }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ r\gt 0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ r\in A }[/math]이고, [math]\displaystyle{ r\lt d }[/math]가 되어 [math]\displaystyle{ d }[/math]가 가장 작은 원소라는 사실에 모순된다. 따라서 [math]\displaystyle{ r=0 }[/math]이고, [math]\displaystyle{ d\mid a }[/math]이다. 마찬가지로 [math]\displaystyle{ d\mid b }[/math]이다. 즉, [math]\displaystyle{ d\mid\gcd\left(a,b\right) }[/math]. 한편 [math]\displaystyle{ e }[/math]가 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]의 공약수라면 [math]\displaystyle{ e\mid\left(ax+by\right) }[/math]이고, [math]\displaystyle{ ax+by=d }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ e\mid d }[/math], 즉 [math]\displaystyle{ e\leq d }[/math]이다. 이는 곧 [math]\displaystyle{ d }[/math]가 최대공약수임을 보인다.

관련 항목

• 약수
• 나눗셈 정리
• 최소공배수