편집을 취소할 수 있습니다. 이 편집을 되돌리려면 아래의 바뀐 내용을 확인한 후 게시해주세요.
최신판 | 당신의 편집 | ||
40번째 줄: | 40번째 줄: | ||
4. 3번으로 부터, <math>\gcd\left(a,0\right)=\gcd\left(\left|a\right|,0\right)</math>이다. <math>\left|a\right|\cdot0=0</math>이므로, <math>\left|a\right|\mid0</math>. 또한, <math>\left|a\right|\mid\left|a\right|</math>이므로, <math>\left|a\right|</math>는 <math>\left|a\right|</math>와 0의 공약수이다. 그러므로 <math>\left|a\right|\leq\gcd\left(\left|a\right|,0\right)</math>이다. 그런데 <math>\gcd\left(\left|a\right|,0\right)\mid\left|a\right|</math>이므로, <math>\gcd\left(\left|a\right|,0\right)\leq\left|a\right|</math>. 위 두 부등식으로 부터 <math>\gcd\left(\left|a\right|,0\right)=\left|a\right|</math>. 다시 한번 2번으로 부터, <math>\gcd\left(a,0\right)=\gcd\left(\left|a\right|,0\right)=\left|a\right|</math>. | 4. 3번으로 부터, <math>\gcd\left(a,0\right)=\gcd\left(\left|a\right|,0\right)</math>이다. <math>\left|a\right|\cdot0=0</math>이므로, <math>\left|a\right|\mid0</math>. 또한, <math>\left|a\right|\mid\left|a\right|</math>이므로, <math>\left|a\right|</math>는 <math>\left|a\right|</math>와 0의 공약수이다. 그러므로 <math>\left|a\right|\leq\gcd\left(\left|a\right|,0\right)</math>이다. 그런데 <math>\gcd\left(\left|a\right|,0\right)\mid\left|a\right|</math>이므로, <math>\gcd\left(\left|a\right|,0\right)\leq\left|a\right|</math>. 위 두 부등식으로 부터 <math>\gcd\left(\left|a\right|,0\right)=\left|a\right|</math>. 다시 한번 2번으로 부터, <math>\gcd\left(a,0\right)=\gcd\left(\left|a\right|,0\right)=\left|a\right|</math>. | ||
5. <math>a=dm, b=dn</math>라 하면, <math>\gcd\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d}\right)=\gcd\left(m,n\right)</math>이다. 양의 정수 <math>p</math>가 <math>p\mid m,p\mid n</math>를 만족한다고 하자. 그러면 <math>m=pe,n=pf</math>를 만족하는 정수 <math>e,f.</math>가 존재한다. 따라서, <math>a=dpe,b=dpf</math>이고 <math>dp</math>는 <math>a,b</math>의 공약수이다. 한편, <math>d</math>는 최대공약수이므로, <math>d\geq dp</math>. 따라서 <math>p\leq1</math>이고 <math>p=1</math>일 | 5. <math>a=dm, b=dn</math>라 하면, <math>\gcd\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d}\right)=\gcd\left(m,n\right)</math>이다. 양의 정수 <math>p</math>가 <math>p\mid m,p\mid n</math>를 만족한다고 하자. 그러면 <math>m=pe,n=pf</math>를 만족하는 정수 <math>e,f.</math>가 존재한다. 따라서, <math>a=dpe,b=dpf</math>이고 <math>dp</math>는 <math>a,b</math>의 공약수이다. 한편, <math>d</math>는 최대공약수이므로, <math>d\geq dp</math>. 따라서 <math>p\leq1</math>이고 <math>p=1</math>일 수 밖에 없다. 이로써 보이고자 하는 바가 증명되었다. | ||
6. 만약 <math>x</math>가 <math>a,b</math>의 공약수라면, <math>x\mid a,x\mid b</math>이다. 따라서 <math>x\mid kb</math>이고, <math>x\mid a+kb</math>이다. 따라서 <math>x</math>는 <math>a+kb</math>와 <math>b</math>의 공약수이다. | 6. 만약 <math>x</math>가 <math>a,b</math>의 공약수라면, <math>x\mid a,x\mid b</math>이다. 따라서 <math>x\mid kb</math>이고, <math>x\mid a+kb</math>이다. 따라서 <math>x</math>는 <math>a+kb</math>와 <math>b</math>의 공약수이다. |