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[[참 쉽죠?]] 하지만 두 수의 약수를 찾는 게 어렵다면 어떻게 될까? 2015와 246의 최대공약수를 [[약수]]를 나열하는 방법으로 찾으려면 한참이 걸릴 것이다. 이 문제를 해결하기 위한 방법이 바로 유클리드 호제법. 놀랍게도 기원전에 발견된 인류 '''최초의 알고리즘'''이라고 한다. 자세한 것은 [[유클리드 호제법]]의 활용 참조. == 성질 == 1. 최대공약수는 유일하다 2. <math>\gcd\left(a,b\right)\geq1</math> 3. <math>\gcd\left(a,b\right)=\gcd\left(\left|a\right|,\left|b\right|\right)</math> 4. <math>\gcd\left(a,0\right)=\left|a\right|</math> 5. <math>d=\gcd\left(a,b\right)</math>라 하면, <math>\gcd\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d}\right)=1</math> 6. 임의의 정수 <math>k</math>에 대하여, <math>\gcd\left(a,b\right)=\gcd\left(a+kb,b\right)</math> 7. 정수 <math>a , b </math>에 대하여 <math>ax + by = \gcd\left( a , b \right)</math>를 만족하는 정수 <math>x , y </math>가 존재한다. 또한 <math>x , y </math>가 임의의 정수일 때 <math>\gcd\left( a , b \right) | ax+by</math>이다. == 증명 == 2. <math>1\mid a,1\mid b</math>이므로, 두 수의 최대공약수는 1보다 크거나 같다. 즉, <math>\gcd\left(a,b\right)\geq1</math>. 3. <math>x\mid a</math>와 <math>x\mid -a</math>는 동치이다. 그런데 <math>\left|a\right|</math>는 <math>a</math> 또는 <math>-a</math>이므로 <math>a</math>와 <math>\left|a\right|</math>는 같은 [[약수]]를 갖는다. 마찬가지로, <math>b</math>와 <math>\left|b\right|</math>는 같은 약수를 갖는다. 따라서, <math>x</math>가 <math>a</math>와 <math>b</math>의 공약수라는 것은 <math>\left|a\right|</math>와 <math>\left|b\right|</math>의 공약수라는 사실과 동치이다. <math>\therefore\gcd\left(a,b\right)=\gcd\left(\left|a\right|,\left|b\right|\right)</math> 4. 3번으로 부터, <math>\gcd\left(a,0\right)=\gcd\left(\left|a\right|,0\right)</math>이다. <math>\left|a\right|\cdot0=0</math>이므로, <math>\left|a\right|\mid0</math>. 또한, <math>\left|a\right|\mid\left|a\right|</math>이므로, <math>\left|a\right|</math>는 <math>\left|a\right|</math>와 0의 공약수이다. 그러므로 <math>\left|a\right|\leq\gcd\left(\left|a\right|,0\right)</math>이다. 그런데 <math>\gcd\left(\left|a\right|,0\right)\mid\left|a\right|</math>이므로, <math>\gcd\left(\left|a\right|,0\right)\leq\left|a\right|</math>. 위 두 부등식으로 부터 <math>\gcd\left(\left|a\right|,0\right)=\left|a\right|</math>. 다시 한번 2번으로 부터, <math>\gcd\left(a,0\right)=\gcd\left(\left|a\right|,0\right)=\left|a\right|</math>. 5. <math>a=dm, b=dn</math>라 하면, <math>\gcd\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d}\right)=\gcd\left(m,n\right)</math>이다. 양의 정수 <math>p</math>가 <math>p\mid m,p\mid n</math>를 만족한다고 하자. 그러면 <math>m=pe,n=pf</math>를 만족하는 정수 <math>e,f.</math>가 존재한다. 따라서, <math>a=dpe,b=dpf</math>이고 <math>dp</math>는 <math>a,b</math>의 공약수이다. 한편, <math>d</math>는 최대공약수이므로, <math>d\geq dp</math>. 따라서 <math>p\leq1</math>이고 <math>p=1</math>일 수 밖에 없다. 이로써 보이고자 하는 바가 증명되었다. 6. 만약 <math>x</math>가 <math>a,b</math>의 공약수라면, <math>x\mid a,x\mid b</math>이다. 따라서 <math>x\mid kb</math>이고, <math>x\mid a+kb</math>이다. 따라서 <math>x</math>는 <math>a+kb</math>와 <math>b</math>의 공약수이다. 역으로, <math>x</math>가 <math>a+kb</math>와 <math>b</math>의 공약수라면, <math>x\mid a+kb, x\mid b</math>이다. 따라서 <math>x\mid kb</math>이고, <math>x\mid\left(\left(a+kb\right)-kb\right)=a</math>이다. 즉, <math>x</math>는 <math>a,b</math>의 공약수이다. 따라서 <math>a,b</math>와 <math>a+kb,b</math>는 같은 공약수 집합을 가지므로 최대공약수도 같아야 한다. 7. 집합 <math>A=\left\{ax+by|x,y\in\right.</math>ℤ, <math>\left.ax+by>0\right\}</math>를 생각하자. 집합 <math>A</math>는 [[자연수]]의 부분집합이고 공집합이 아니므로 well-ordering 원리에 의해 가장 작은 원소가 존재한다. 이를 <math>d</math>라 하면 적당한 정수 <math>x,y</math>에 대해 <math>d=ax+by</math>이다. 여기서 <math>d</math>가 최대공약수임을 보이면 증명이 끝난다. <math>d>0</math>이므로, [[나눗셈 정리]]에 의하여 <math>a=qd+r,\,0\leq r< d</math>인 정수 <math>q,r</math>가 존재한다. 그러면 <math>r=a-qd=a-q\left(ax+by\right)=a\left(1-qx\right)-b\left(qy\right)</math>이므로 <math>r> 0</math>이면 <math>r\in A</math>이고, <math>r< d</math>가 되어 <math>d</math>가 가장 작은 원소라는 사실에 모순된다. 따라서 <math>r=0</math>이고, <math>d\mid a</math>이다. 마찬가지로 <math>d\mid b</math>이다. 즉, <math>d\mid\gcd\left(a,b\right)</math>. 한편 <math>e</math>가 <math>a,b</math>의 공약수라면 <math>e\mid\left(ax+by\right)</math>이고,<ref>5번 성질 참조</ref> <math>ax+by=d</math>이므로 <math>e\mid d</math>, 즉 <math>e\leq d</math>이다. 이는 곧 <math>d</math>가 최대공약수임을 보인다. == 다항식의 최대공약수 == == 관련 항목 == * [[약수]] * [[나눗셈 정리]] * [[최소공배수]] [[분류:정수론]] {{각주}} 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) 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