초완전수

초완전수(Hyperperfect number)는 완전수에서 정의를 확장한 개념으로, 1과 자기 자신을 제외한 약수들의 합이 (원래 수-1)의 약수가 되는 자연수를 말한다.

가장 작은 초완전수는 아래와 같다.

• 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, 1333, 1909, 2041, … (OEIS의 수열 A034897) (더 많은 목록)

수식 표현

• [math]\displaystyle{ n-1=k(\sigma(n)-n-1) }[/math] 식을 만족하면, 이를 [math]\displaystyle{ k }[/math]-초완전수라 부른다. [math]\displaystyle{ \sigma(n) }[/math]은 약수함수.
• [math]\displaystyle{ \sigma(n)-n-1=\frac{n-1}{k}\lt \frac{n}{k} }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ k }[/math]-초완전수는 가장 큰 진약수가 [math]\displaystyle{ \frac{n}{k} }[/math]보다 작으며, 곧 가장 작은 소인수가 [math]\displaystyle{ k }[/math]보다 커야 한다. 또, [math]\displaystyle{ n \equiv 1 \pmod k }[/math]를 만족한다.
• 1-초완전수는 완전수와 같다: [math]\displaystyle{ k=1, \sigma(n)=2n }[/math]
• [math]\displaystyle{ k \geq 2 }[/math]인 경우는 모두 부족수이자 홀수이다.

초완전수의 예

• [math]\displaystyle{ k=1 }[/math](완전수): 6, 28, 496, 8128, 33550336, … (OEIS의 수열 A000396)
• [math]\displaystyle{ k=2 }[/math]: 21, 2133, 19251, 176661, 129127041, … (OEIS의 수열 A000396)
• [math]\displaystyle{ k=3 }[/math]: 325, … (알려진 수가 하나 뿐이다)
• [math]\displaystyle{ k=4 }[/math]: 1950625, 1220640625, …
• [math]\displaystyle{ k=5 }[/math]: 존재 유무를 아직 모른다.
• [math]\displaystyle{ k=6 }[/math]: 301, 16513, 60110701, 1977225901, 2733834545701, … (OEIS의 수열 A028499)

1보다 큰 홀수 [math]\displaystyle{ k }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ p=\frac{3k+1}{2}, q=3k+4 }[/math]가 각각 소수이면, [math]\displaystyle{ p^2q }[/math]는 [math]\displaystyle{ k }[/math]-초완전수이다.

• [math]\displaystyle{ (k, p^2q)=(3, 325), (11, 10693), (19, 51301), \cdots }[/math]

또, [math]\displaystyle{ n=(k+1)^{m-1}((k+1)^m-k) }[/math] 형태의 자연수에 대해 [math]\displaystyle{ k+1, (k+1)^m-k }[/math]가 소수이면 [math]\displaystyle{ n }[/math]은 [math]\displaystyle{ k }[/math]-초완전수이다.

소수는 1과 자기 자신 외에는 약수가 존재하지 않으므로 [math]\displaystyle{ \sigma(n)-n-1=0 }[/math]이다. 즉 소수는 초완전수가 될 수 없다.

같이 보기

• 완전수
• 부족수