중간값의 정리

개요

고등학교 수학 미적분 파트에서 처음 보게되는 정리중 하나. 영어로는 Intermediate Value Theorem (IVT)라고 한다. 정리의 내용은 다음과 같다.

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함수 [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math]가 닫힌 구간 [math]\displaystyle{ \left[a, b\right] }[/math]에서 연속이고 [math]\displaystyle{ f\left(a\right) \neq f\left(b\right) }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ f\left(a\right) }[/math]와 [math]\displaystyle{ f\left(b\right) }[/math] 사이의 임의의 값 [math]\displaystyle{ k }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ f\left(c\right)=k }[/math]인 [math]\displaystyle{ c }[/math]가 열린 구간 [math]\displaystyle{ \left(a,b\right) }[/math]내에 적어도 하나 존재한다.

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이 정리 바로 앞에 나올 최대·최소의 정리와 마찬가지로 고교과정에선 증명을 하지 않고 그냥 사용한다. 사실 증명을 하려 해도 할 수 없는 게, 고등미적분학에서 배울 여러 가지 내용을 이용해서 증명하기 때문. 자세한 증명은 아래 문단 참조.

증명

[math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 연속이고 [math]\displaystyle{ k }[/math]가 [math]\displaystyle{ f\left(a\right) }[/math]와 [math]\displaystyle{ f\left(b\right) }[/math]사이의 임의의 값이라 하자 (당연히 [math]\displaystyle{ f\left(a\right)\neq f\left(b\right) }[/math]임을 가정한다). [math]\displaystyle{ f\left(a\right)\lt k\lt f\left(b\right) }[/math]와 [math]\displaystyle{ f\left(b\right)\lt k\lt f\left(a\right) }[/math]의 두가지 경우가 있는데 전자를 가정한다. 모든 [math]\displaystyle{ x\in\left[a,b\right] }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ g\left(x\right)=f\left(x\right)-k }[/math]로 정의한다. 그럼 [math]\displaystyle{ g\left(a\right)=f\left(a\right)-k\lt 0,\,g\left(b\right)=f\left(b\right)-k\gt 0 }[/math]이다. 또한, [math]\displaystyle{ c=\sup\left\{x\in\left[a,b\right]|g\left(x\right)\lt 0\right\} }[/math]로 정의한다. [math]\displaystyle{ g }[/math]가 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 연속이므로, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta _1\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ g\left(x\right)\lt 0,x\in\left[a,a+\delta _1\right) }[/math]이고, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_2\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ g\left(x\right)\gt 0,x\in\left(b-\delta _2,b\right] }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ a\lt c\lt b }[/math]이다. [math]\displaystyle{ c\lt x\leq b }[/math]를 만족하는 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대해서, [math]\displaystyle{ g\left(x\right)\geq0 }[/math]이다 (만약 아니면 [math]\displaystyle{ c }[/math]는 upper bound가 아니고 이는 [math]\displaystyle{ c }[/math]의 정의에 위배된다.). 따라서 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c^+}g\left(x\right)\geq0 }[/math]. 함수 [math]\displaystyle{ g }[/math]는 연속이므로, [math]\displaystyle{ g\left(c\right)=\lim_{x\to c^+}g\left(x\right)\geq0 }[/math]. 이제 수열 [math]\displaystyle{ \left\{x_n\right\} }[/math]를 [math]\displaystyle{ x_n\in\left[a,b\right],x_n\lt c,\lim_{n\to\infty}x_n=c,g\left(x_n\right)\lt 0,\forall n\in\mathbb{N} }[/math]이 되게 고른다 (만약 그런 수열이 없으면 집합 [math]\displaystyle{ \left\{x\in\left[a,b\right]|g\left(x\right)\lt 0\right\} }[/math]는 [math]\displaystyle{ c }[/math]보다 작은 upper bound를 가지고 이는 [math]\displaystyle{ c }[/math]의 정의에 위배된다.). 함수 [math]\displaystyle{ g }[/math]가 [math]\displaystyle{ x=c }[/math]에서 연속이므로, [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}g\left(x_n\right)=g\left(c\right)\leq0 }[/math]이고 곧 [math]\displaystyle{ g\left(c\right)=0 }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ f\left(c\right)=k }[/math].

아니 이게 무슨 소리야

활용

고교과정에서 자주 쓰이는 활용으로는 방정식의 근의 위치를 추정하는 것이다. 만약 [math]\displaystyle{ f\left(a\right)\gt 0,f\left(b\right)\lt 0 }[/math] (혹은 그 반대)이고 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 연속이면 [math]\displaystyle{ \left(a,b\right) }[/math]사이에 근을 적어도 하나 가진다. 왜냐하면 0이 [math]\displaystyle{ f\left(a\right) }[/math]와 [math]\displaystyle{ f\left(b\right) }[/math]사이에 존재하기 때문. 하지만 이것만으로는 근의 개수를 알 수 없다.

실생활에서 쓰일만한 또다른 활용은 테이블이 흔들리지 않게 하는 위치를 찾는것이다. 테이블 꼭짓점의 위치를 각각 A, B, C, D라 하자. 그리고 A, B, C에 의해 평면이 결정되어 있다고 하자. 3변수 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]를 점에서 평면 ABC까지의 수직 거리라 정의하면 [math]\displaystyle{ f\left(D\right)\gt 0 }[/math]이고 나머지 점의 함수값은 0이 된다. 점 D와 마주보는 점을 B라 하면 [math]\displaystyle{ f\left(B\right)-f\left(D\right)\lt 0 }[/math]이고 테이블을 180도 돌리면 A와 C, B와 D의 위치가 바뀌고 [math]\displaystyle{ f\left(B\right)-f\left(D\right)\gt 0 }[/math]이 된다. 또한 [math]\displaystyle{ f\left(B\right)-f\left(D\right) }[/math]의 값은 연속적인 값이므로 중간값의 정리에 의해 [math]\displaystyle{ f\left(B\right)-f\left(D\right)=0 }[/math], 즉 테이블이 흔들리지 않게 되는 점이 180도 회전할 때 적어도 하나 존재하게 되는 것이다.

관련 항목

• 해석학
• 연속함수