중간값의 정리 편집하기

{{학술 관련 정보}}

== 개요 ==
고등학교 수학 [[미적분]] 파트에서  처음 보게되는 정리중 하나. 영어로는 Intermediate Value Theorem (IVT)라고 한다. 정리의 내용은 다음과 같다.
{{인용문|함수 <math>f\left(x\right)</math>가 닫힌 구간 <math>\left[a, b\right]</math>에서 연속이고 <math>f\left(a\right) \neq f\left(b\right)</math>일 때, <math>f\left(a\right)</math>와 <math>f\left(b\right)</math> 사이의 임의의 값 <math>k</math>에 대하여 <math>f\left(c\right)=k</math>인 <math>c</math>가 열린 구간 <math>\left(a,b\right)</math>내에 적어도 하나 존재한다.}}
이 정리 바로 앞에 나올 [[최대·최소의 정리]]와 마찬가지로 고교과정에선 증명을 하지 않고 그냥 사용한다. 사실 증명을 하려 해도 할 수 없는 게, 고등미적분학에서 배울 여러 가지 내용을 이용해서 증명하기 때문. 자세한 증명은 아래 문단 참조.

== 증명 ==
{{인용문2|<math>f</math>가 <math>\left[a,b\right]</math>에서 연속이고 <math>k</math>가 <math>f\left(a\right)</math>와 <math>f\left(b\right)</math>사이의 임의의 값이라 하자 (당연히 <math>f\left(a\right)\neq f\left(b\right)</math>임을 가정한다). <BR>
<math>f\left(a\right)< k< f\left(b\right)</math>와 <math>f\left(b\right)< k< f\left(a\right)</math>의 두가지 경우가 있는데 전자를 가정한다.<ref>후자의 경우의 증명은 비슷하므로 직접 해보자.</ref><BR><BR>

 모든 <math>x\in\left[a,b\right]</math>에 대해 <math>g\left(x\right)=f\left(x\right)-k</math>로 정의한다. <BR>
그럼 <math>g\left(a\right)=f\left(a\right)-k< 0,\,g\left(b\right)=f\left(b\right)-k> 0</math>이다.<BR>
 또한, <math>c=\sup\left\{x\in\left[a,b\right]|g\left(x\right)< 0\right\}</math>로 정의한다. <BR>
<math>g</math>가 <math>\left[a,b\right]</math>에서 연속이므로, 적당한 <math>\delta _1> 0</math>에 대해 <math>g\left(x\right)< 0,x\in\left[a,a+\delta _1\right)</math>이고, 적당한 <math>\delta_2> 0</math>에 대해 <math>g\left(x\right)> 0,x\in\left(b-\delta _2,b\right]</math>이다.<ref>이 부분 역시 증명이 필요하다. 어렵지 않으므로 직접 해보자.</ref> <BR>
따라서 <math>a< c< b</math>이다.<BR>
<BR>

<math>c< x\leq b</math>를 만족하는 <math>x</math>에 대해서, <math>g\left(x\right)\geq0</math>이다 (만약 아니면 <math>c</math>는 upper bound가 아니고 이는 <math>c</math>의 정의에 위배된다.). <BR>
따라서 <math>\lim_{x\to c^+}g\left(x\right)\geq0</math>. <BR>
함수 <math>g</math>는 연속이므로, <math>g\left(c\right)=\lim_{x\to c^+}g\left(x\right)\geq0</math>. <BR>
이제 수열 <math>\left\{x_n\right\}</math>를 <math>x_n\in\left[a,b\right],x_n< c,\lim_{n\to\infty}x_n=c,g\left(x_n\right)< 0,\forall n\in\mathbb{N}</math>이 되게 고른다 (만약 그런 수열이 없으면 집합 <math>\left\{x\in\left[a,b\right]|g\left(x\right)< 0\right\}</math>는 <math>c</math>보다 작은 upper bound를 가지고 이는 <math>c</math>의 정의에 위배된다.). <BR>
함수 <math>g</math>가 <math>x=c</math>에서 연속이므로, <math>\lim_{n\to\infty}g\left(x_n\right)=g\left(c\right)\leq0</math>이고 곧 <math>g\left(c\right)=0</math>이다. <BR>
<BR>
따라서 <math>f\left(c\right)=k</math>.}}
{{--|아니 이게 무슨 소리야}}

== 활용 ==
고교과정에서 자주 쓰이는 활용으로는 방정식의 근의 위치를 추정하는 것이다. 만약 <math>f\left(a\right)> 0,f\left(b\right)< 0</math> (혹은 그 반대)이고 <math>f</math>가 연속이면 <math>\left(a,b\right)</math>사이에 근을 적어도 하나 가진다. 왜냐하면 0이 <math>f\left(a\right)</math>와 <math>f\left(b\right)</math>사이에 존재하기 때문. 하지만 이것만으로는 근의 개수를 알 수 없다.

실생활에서 쓰일만한 또다른 활용은 테이블이 흔들리지 않게 하는 위치를 찾는것이다. 테이블 꼭짓점의 위치를 각각 A, B, C, D라 하자. 그리고 A, B, C에 의해 평면이 결정되어 있다고 하자.<ref>평면의 결정조건 중 하나가 공선점이 아닌 세 점이다</ref> 3변수 함수 <math>f</math>를 점에서 평면 ABC까지의 수직 거리라 정의하면 <math>f\left(D\right)> 0</math>이고 나머지 점의 함수값은 0이 된다. 점 D와 마주보는 점을 B라 하면 <math>f\left(B\right)-f\left(D\right)< 0</math>이고 테이블을 180도 돌리면 A와 C, B와 D의 위치가 바뀌고 <math>f\left(B\right)-f\left(D\right)> 0</math>이 된다. 또한 <math>f\left(B\right)-f\left(D\right)</math>의 값은 연속적인 값이므로 중간값의 정리에 의해 <math>f\left(B\right)-f\left(D\right)=0</math>, 즉 테이블이 흔들리지 않게 되는 점이 180도 회전할 때 적어도 하나 존재하게 되는 것이다.

== 관련 항목 ==
* [[해석학]]
* [[연속함수]]

[[분류:해석학]]
{{각주}}