준완전수

준완전수(Quasiperfect number)는 1을 제외한 진약수의 합이 원래 수가 되는 자연수이다. 이 부류는 과잉수 및 반완전수에 포함된다. 현재까지 준완전수는 발견되지 않았으며, 존재성 여부는 미해결 문제로 남아 있다.

약수함수로 표현하면 [math]\displaystyle{ \sigma-(n+1)=n, \sigma(n)=2n+1 }[/math]이다.

준완전수가 존재한다면?

준완전수가 존재한다면 아래 성질을 만족한다.

• 준완전수가 존재한다면 이 자연수는 홀수의 제곱이다.
• [math]\displaystyle{ 10^{35} }[/math]보다 크고, 서로 다른 소인수가 7개 이상이어야 한다.
• 준완전수가 3의 배수가 아니라면, [math]\displaystyle{ 10^{40} }[/math]보다 크고 서로 다른 소인수가 9개 이상이어야 한다.

홀수의 제곱 형태인 이유는 아래와 같다.

먼저 자연수가 [math]\displaystyle{ N=2^mp_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k} }[/math] 형태로 소인수분해가 된다고 가정한다. ([math]\displaystyle{ p_i }[/math]는 홀수 소인수) 그러면 [math]\displaystyle{ \sigma(N)=(2^{m+1}-1)M, M=\prod_{i=1}^k\left(\sum_{j=0}^{e_i}p_i^j\right) }[/math]과 같이 쓸 수 있으며, [math]\displaystyle{ \sigma(N)=2N+1 }[/math]이므로 이 값은 홀수이다. 즉 곱해지는 각 항들은 모두 홀수이다. [math]\displaystyle{ \sum_{j=0}^{e_i}p_i^j }[/math]은 홀수이고, 가정에 의해 [math]\displaystyle{ p_i^j }[/math]은 모두 홀수이므로, 더하는 항은 홀수 개, [math]\displaystyle{ e_i }[/math]는 짝수임을 알 수 있다. 따라서 적당한 홀수 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 존재해서 [math]\displaystyle{ N=2^mn^2 }[/math]과 같이 쓸 수 있다.

한편 [math]\displaystyle{ \sigma(N)=(2^{m+1}-1)M, 2N+1=2^{m+1}n^2+1 }[/math]은 같은 값이므로 [math]\displaystyle{ (2^{m+1}-1)M=2^{m+1}n^2+1 }[/math]이다. 이제 [math]\displaystyle{ p \mid 2^{m+1}-1 }[/math]인 임의의 소인수 [math]\displaystyle{ p }[/math]를 불러오면 [math]\displaystyle{ 2^{m+1} \equiv 1 \pmod p }[/math]이므로, 바로 위 식에다 대입하면 [math]\displaystyle{ n^2+1 \equiv 0 \pmod p }[/math]이다. 다시 말해 -1은 법 [math]\displaystyle{ p }[/math]에 대한 이차잉여이므로 [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \pmod 4 }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ 2^{m+1}-1 }[/math]은 4로 나눈 나머지가 1인 약수들만을 가지므로 [math]\displaystyle{ 2^{m+1}-1 \equiv 1 \pmod 4 }[/math]이며, [math]\displaystyle{ m=0 }[/math]만이 이 조건을 만족한다.

그러므로 [math]\displaystyle{ N=n^2 }[/math], 즉 홀수의 제곱이다.

다른 형태

준완전수는 아니지만 [math]\displaystyle{ \sigma(n)=2n+2k }[/math]를 만족하는 자연수는 여러 개 존재한다. [math]\displaystyle{ n=2^{m-1}(2^m-(2k+1)) }[/math] 꼴의 식에서 [math]\displaystyle{ 2^m-(2k+1) }[/math]이 소수이면 [math]\displaystyle{ \sigma(n)=(2^m-1)(2^m-2k)=2N+2k }[/math]를 만족한다. 다만 [math]\displaystyle{ k }[/math]에 따라서는 역은 성립하지 않을 수가 있다.

• [math]\displaystyle{ k=0 }[/math](완전수): 6, 28, 496, 8128, …
• [math]\displaystyle{ k=1 }[/math]: 20, 104, 464, 1952, 130304, …
  • 물론 650과 같이 [math]\displaystyle{ 2^{m-1}(2^m-3) }[/math]의 형태가 아닌 수도 존재한다.

같이 보기

• 완전수
• 과잉수
• 반완전수